Đề kiểm tra 45 phút ( 1 tiết) - Đề số 2 - Chương 5 - Đại số và Giải tích 11

Câu 1: Cho hàm số \(f(x)\) liên tục tại \({x_0}\) Đạo hàm của \(f(x)\) tại \({x_0}\) là

A. \(f({x_0})\)  

B. \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {{f({x_0} + h) - f({x_0})} \over h}\)(nếu tồn tại giới hạn)                              

C. \({{f({x_0} + h) - f({x_0})} \over h}\)                                                                       

D. \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {{f({x_0} + h) - f({x_0} - h)} \over h}\)(nếu tồn tại giới hạn)

Câu 2: Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(R\) bởi \(f(x) = \root 3 \of x \). Giá trị của \(f'( - 8)\) bằng

A. \({1 \over {12}}\)            

B. \({{ - 1} \over {12}}\)        

C. \({{ - 1} \over 6}\)         

D. \({1 \over 6}\)

Câu 3: Đạo hàm của hàm số \(y = {1 \over 2}{x^6} - {3 \over x} + 2\sqrt x \) là

A. \(3{x^5} + {3 \over {{x^2}}} + {1 \over {\sqrt x }}\)    

B. \(6{x^5} + {3 \over {{x^2}}} + {1 \over {2\sqrt x }}\)  

C. \(3{x^5} - {3 \over {{x^2}}} + {1 \over {\sqrt x }}\)   

D. \(6{x^5} - {3 \over {{x^2}}} + {1 \over {2\sqrt x }}\)

Câu 4: Đạo hàm của hàm số \(y = {{2 - x} \over {3x + 1}}\)là

A. \({{ - 7} \over {3x + 1}}\)

B. \({5 \over {{{(3x + 1)}^2}}}\)                                      

C. \({{ - 7} \over {{{(3x + 1)}^2}}}\)                            

D. \({5 \over {3x + 1}}\)

Câu 5: Cho hàm số \(y = \sqrt {2{x^2} + 5x - 4} \) Đạo hàm của hàm số trên là

A. \({{4x + 5} \over {2\sqrt {2{x^2} + 5x - 4} }}\)             

B. \({{4x + 5} \over {\sqrt {2{x^2} + 5x - 4} }}\)          

C. \({{2x + 5} \over {2\sqrt {2{x^2} + 5x - 4} }}\)                  

D. \({{2x + 5} \over {\sqrt {2{x^2} + 5x - 4} }}\)

Câu 6: Cho hàm số \(y = 2{x^3} - 3{x^2} - 5\) Các nghiệm của phương trình \(y' = 0\) là

A. \(x =  \pm 1\)                  

B. \(x =  - 1;x = {5 \over 2}\) 

C. \(x = {{ - 5} \over 2};x = 1\)  

D. \(x = 0;x = 1\)

Câu 7: Cho hàm số \(y = {(2{x^2} + 1)^3}\). Để \(y' \ge 0\) thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây

A. \(\emptyset \)                  

B. \(\left( { - \infty ;0} \right]\)                                        

C. \({\rm{[}}0; + \infty )\)   

D. \(R\)

Câu 8: Tìm m để các hàm số \(y = {{m{x^3}} \over 3} - m{x^2} + (3m - 1)x + 1\)có \(y' < 0\,\,\,\,\forall x \in R\)

A. \(m \le \sqrt 2 \)              

B. \(m \le 2\)                          

C. \(m \le 0\)                     

D. \(m < 0\)

Câu 9: Cho hàm số \(f(x) = \tan \left( {x - {{2\pi } \over 3}} \right)\) Giá trị \(f'(0)\) bằng

A. \(- \sqrt 3 \)                     

B. 4                                        

C. -3                                  

D. \(\sqrt 3 \)

Câu 10: Đạo hàm của \(y = {\sin ^2}4x\) là

A. \(2\sin 8x\)                      

B. \(8\sin 8x\)                        

C. \(\sin 8x\)                      

D. \(4\sin 8x\)

Câu 11: Tìm vi phân của hàm số\(y = \root 3 \of {x + 1} \)

A. \(dy = {1 \over {\root 3 \of {{{(x + 1)}^2}} }}dx\)        

B. \(dy = {3 \over {\root 3 \of {{{(x + 1)}^2}} }}dx\)    

C. \(dy = {2 \over {\root 3 \of {{{(x + 1)}^2}} }}dx\)             

D. \(dy = {1 \over {3\root 3 \of {{{(x + 1)}^2}} }}dx\)

Câu 12: Hàm số \(y = {({x^2} + 1)^3}\) có đạo hàm cấp ba là

A. \(12({x^2} + 1)\)             

B. \(24({x^2} + 1)\)               

C. \(24(5{x^2} + 3)\)                  

D. \(- 12({x^2} + 1)\)

Câu 13: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s = {t^3} - 3{t^2} - 9t + 2\)(t tính bằng giây; s tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0 hoặc t = 2

B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 là \(v = 18m/s\)

C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 là \(a = 12\,\,m/{s^2}\)

D.Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0

Câu 14: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = x{(3 - x)^2}\) tại điểm có hoành độ x = 2 là

A. \(y =  - 3x + 8\)               

B. \(y =  - 3x + 6\)                 

C. \(y = 3x - 8\)  

D. \(y = 3x - 6\)

Câu 15: Cho đồ thị (H): \(y = {{x + 2} \over {x - 1}}\) và điểm \(A \in (H)\) có tung độ y = 4. Hãy lập phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm A

A. \(y = x - 2\)                     

B. \(y =  - 3x - 11\)                

C. \(y = 3x + 11\)                   

D. \(y =  - 3x + 10\)

Câu 16: Gọi (C ) là đồ thị hàm số \(y = {{{x^2} + 3x + 2} \over {x - 1}}\) Tìm tọa độ các điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó với  (C) vuông góc với đường thẳng có phương trình \(y = x + 4\)

\(A. (1 + \sqrt 3 ;5 + 3\sqrt 3 )\,\,;\,\,(1 - \sqrt 3 ;5 - 3\sqrt 3 )\)

B.(2; 12)

C. (0;0)     

D. (-2;0)

Câu 17: Cho hàm số \(y = {x^4} + {x^2} + 1\,(C)\) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y = 6x - 1\)

A. \(y = 6x - 2\)                   

B. \(y = 6x - 7\)                      

C. \(y = 6x - 8\)                      

D. \(y = 6x - 3\)

Câu 18: Xét hai mệnh đề:

(I) f(x) có đạo hàm tại x₀ thì f(x) liên tục tại x₀                     

(II) f(x) liên tục tại x₀ thì f(x) có đạo hàm tại x₀

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I)                   

B. Chỉ (II)                              

C. Cả hai đều sai                    

D. Cả 2 đều đúng.

Câu 19: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{a{x^2} + bx\,\,khi\,\,x \ge 1 \hfill \cr2x - 1\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1 \hfill \cr}  \right.\) Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 1.

A. \(a =  - 1,b = 0\)                 

B. \(a =  - 1,b = 1\)                 

C. \(a = 1,b = 0\)                                

D. \(a = 1,b = 1\)

Câu 20: Xét hai câu sau:

(1) Hàm số \(y = {{\left| x \right|} \over {x + 1}}\)liên tục tại x = 0.

(2) Hàm số \(y = {{\left| x \right|} \over {x + 1}}\)có đạo hàm tại x = 0.

Trong 2 câu trên:

A. (2) đúng                             

B. (1) đúng                 

C. Cả (1), (2) đều đúng          

D. Cả (1), (2) đều sai.

Câu 21: Hàm số nào sau đây có \(y' = 2x + {1 \over {{x^2}}}\)?

A. \(y = {{{x^3} + 1} \over x}\)                                 

B. \(y = {{3\left( {{x^2} + x} \right)} \over {{x^3}}}\)                      

C.\(y = {{{x^3} + 5x - 1} \over x}\)   

D. \(y = {{2{x^2} + x - 1} \over x}\)

Câu 22: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x  - {1 \over {\sqrt x }}} \right)^3}\) Hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) bằng:

A. \({3 \over 2}\left( {\sqrt x  + {1 \over {\sqrt x }} + {1 \over {x\sqrt x }} + {1 \over {{x^2}\sqrt x }}} \right)\)  

B. \(x\sqrt x  - 3\sqrt x  + {3 \over {\sqrt x }} - {1 \over {x\sqrt x }}\)

C. \({3 \over 2}\left( { - \sqrt x  + {1 \over {\sqrt x }} + {1 \over {x\sqrt x }} - {1 \over {{x^2}\sqrt x }}} \right)\) 

D. \({3 \over 2}\left( {\sqrt x  - {1 \over {\sqrt x }} - {1 \over {x\sqrt x }} + {1 \over {{x^2}\sqrt x }}} \right)\)

Câu 23: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) =  - {1 \over x}\) Xét hai mệnh đề:

(I): \(y'' = f''\left( x \right) = {2 \over {{x^3}}}\)

(II): \(y''' = f'''\left( x \right) =  - {6 \over {{x^4}}}\)

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I)                   

B. Chỉ (II) đúng         

C. Cả hai đều đúng                

D. Cả hai đều sai.

Câu 24: Tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {1;3} \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x + 3\) tại điểm thứ hai khác \(M\)là \(N\) Tọa độ điểm \(N\) là:

A. \(N\left( { - 2; - 3} \right)\)                        

B. \(N\left( {1;3} \right)\)                              

C. \(N\left( { - 1;3} \right)\)                                  

D. \(M\left( {2;9} \right)\)

Câu 25: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2}\) tại điểm có tung độ bằng \(5\) có phương trình là? 

A. \(y = 12x - 7\)   

B. \(y =  - 12x - 7\)

C. \(y = 12x + 17\) 

D. \(y =  - 12x + 17\)

Câu 1: Đáp án B

Hàm số \(f(x)\)liên tục tại \({x_0}\). Đạo hàm của \(f(x)\)tại \({x_0}\)là \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \dfrac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}\)(nếu tồn tại giới hạn)

Câu 2: Đáp án A

\(\begin{array}{l}f(x) = \sqrt[3]{x} = {x^{\dfrac{1}{3}}} \Rightarrow f'(x) = \dfrac{1}{3}{x^{\dfrac{{ - 2}}{3}}}\\f'( - 8) = \dfrac{1}{3}{( - 8)^{\dfrac{{ - 2}}{3}}} = \dfrac{1}{{12}}\end{array}\)

Câu 3: Đáp án A

\(y' = {\left( {\dfrac{1}{2}{x^6} - \dfrac{3}{x} + 2\sqrt x } \right)^\prime }\\\;\;\; = \dfrac{1}{2}.6{x^5} + \dfrac{3}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{{2\sqrt x }}\\\;\;\; = 3{x^5} + \dfrac{3}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{\sqrt x }}\)

Câu 4: Đáp án C

\(y' = {\left( {\dfrac{{2 - x}}{{3x + 1}}} \right)^\prime } \\\;\;\;= \dfrac{{ - \left( {3x + 1} \right) - 3\left( {2 - x} \right)}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}\\\;\;\; = \dfrac{{ - 7}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}\)

Câu 5: Đáp án A

\(y' = {\left( {\sqrt {2{x^2} + 5x - 4} } \right)^\prime } \\\;\;\;= \dfrac{{(2{x^2} + 5x - 4)'}}{{2\sqrt {2{x^2} + 5x - 4} }}\\\;\;\; = \dfrac{{4x + 5}}{{2\sqrt {2{x^2} + 5x - 4} }}\)

Câu 6: Đáp án D

\(\begin{array}{l}y' = {\left( {2{x^3} - 3{x^2} - 5} \right)^\prime } = 6{x^2} - 6x\\y' = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 6x = 0 \\\Leftrightarrow 6x\left( {x - 1} \right) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x = 0\)hoặc\(x = 1\)

Câu 7: Đáp án C

\(y' = {\left( {{{(2{x^2} + 1)}^3}} \right)^\prime }\\\;\;\; = 3{\left( {2{x^2} + 1} \right)^\prime }{\left( {2{x^2} + 1} \right)^2}\\\;\;\; = 12x{\left( {2{x^2} + 1} \right)^2}\)

Do \({\left( {2{x^2} + 1} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow \)\(y' \ge 0 \Leftrightarrow 12x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\)

Vậy \(x \in \left[ {0; + \infty } \right)\)

Câu 8: Đáp án D

\(y' = {\left( {\dfrac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + (3m - 1)x + 1} \right)^\prime } \\\;\;\;= m{x^2} - 2mx + 3m - 1\)

Để  \(y' < 0\)thì \(m < 0\)và \(\Delta ' < 0\)

\(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow  - 2{m^2} + m < 0 \)

\(\Leftrightarrow  - m(2m + 1) < 0 \)

\(\Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\)

Kết hợp với \(m < 0\)\( \Rightarrow m \in \left( { - \infty ;0} \right)\)

Câu 9: Đáp án B

\(\begin{array}{l}f'(x) = {\left( {\tan \left( {x - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)} \right)^\prime } \\\;\;\;\;= \dfrac{{{{\left( {x - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}\left( {x - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( {x - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}\\f'(0) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\left( { - \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{4}}} = 4\end{array}\)

Câu 10: Đáp án D

\(y' = {\left( {{{\sin }^2}4x} \right)^\prime } = 2.\sin 4x.{\left( {\sin 4x} \right)^\prime } \)\(\,= 8\sin 4x\cos 4x = 4\sin 8x\)

Câu 11: Đáp án D

\(dy = d\left( {\sqrt[3]{{x + 1}}} \right) = {\left( {\sqrt[3]{{x + 1}}} \right)^\prime }dx = \dfrac{1}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}}}dx\)

Câu 12: Đáp án C

\(\begin{array}{l}y' = {\left( {{{({x^2} + 1)}^3}} \right)^\prime } = 3({x^2} + 1)'{({x^2} + 1)^2} = 6x{({x^2} + 1)^2}\\y'' = {\left( {6x{{({x^2} + 1)}^2}} \right)^\prime } = 6{({x^2} + 1)^2} + 24{x^2}({x^2} + 1)\\y''' = {\left( {6{{({x^2} + 1)}^2} + 24{x^2}({x^2} + 1)} \right)^\prime } \\\;\;\;\;\;= 24x({x^2} + 1) + 48x({x^2} + 1) + 48{x^3} \\\;\;\;\;\;= 120{x^3} + 72x = 24x(5{x^2} + 3)\end{array}\)

Câu 13: Đáp án C

\(\begin{array}{l}v = s' = {\left( {{t^3} - 3{t^2} - 9t + 2} \right)^\prime } = 3{t^2} - 6t - 9\\v = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t - 9 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow t = 3\) hoặc \(t =  - 1\)

Đáp án A sai

Tại thời điểm t = 2 vận tốc của chuyển động là \({3.2^2} - 6.2 - 9 =  - 9\)m/s

Đáp án B sai

\(a = s'' = v' = {\left( {3{t^2} - 6t - 9} \right)^\prime } = 6t - 6\)

Tại thời điểm t = 3 gia tốc của chuyển động là \(6.3 - 6 = 12\)m/s²

Đáp án C đúng

Câu 14: Đáp án A

\(\begin{array}{l}y' = {\left( {x{{(3 - x)}^2}} \right)^\prime } = {(3 - x)^2} + 2x(x - 3)\\y'(2) = {(3 - 2)^2} + 2.2(2 - 3) =  - 3\\y(2) = 2{(3 - 2)^2} = 2\end{array}\)

Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số\(y = x{(3 - x)^2}\)tại điểm có hoành độ x = 2 là:

\(y =  - 3(x - 2) + 2 =  - 3x + 8\)

Câu 15: Đáp án D

\(y' = {\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^\prime } = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Điểm A có tung độ y = 4 nên hoành độ của nó thỏa mãn \(\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} = 4 \Leftrightarrow x + 2 = 4\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow 3x = 6 \Leftrightarrow x = 2\)

Tại điểm có x = 2 ta có \(y'(2) = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} =  - 3\)

Phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm A là:

\(y =  - 3(x - 2) + 4 =  - 3x + 10\)

Câu 16: Đáp án A

Vì  tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng  

nên phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k=-1

Ta có \(y = \dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x - 1}}\,\,\,\,suy\,\,ra\,\,\,y' = \dfrac{{{x^2} - 2x - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Khi đó y’ = k = -1 hay

  \(\begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x - 1}} =  - 1 \\\Rightarrow {x^2} - 2x - 5 =  - {\left( {x - 1} \right)^2}\\ \Rightarrow 2{x^2} - 4x - 4 = 0\end{array}\)

hoặc \(x = 1 - \sqrt 3 \)

Với \(x = 1 + \sqrt 3 \) thì \(y = \dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x - 1}} = \dfrac{{{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2} + 3\left( {1 + \sqrt 3 } \right) + 2}}{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right) - 1}} = 5 + 3\sqrt 3 \)

Với \(x = 1 - \sqrt 3 \) thì \(y = \dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x - 1}} = \dfrac{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2} + 3\left( {1 - \sqrt 3 } \right) + 2}}{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right) - 1}} = 5 - 3\sqrt 3 \)

Vậy giao điểm của (C) và đường thẳng  tại điểm

\(\left( {1 + \sqrt 3 ;5 + 3\sqrt 3 } \right)\)và \(\left( {1 - \sqrt 3 ;5 - 3\sqrt 3 } \right)\)

Câu 17: Đáp án D

Vì tiếp tuyến của đồ thị (C)  song song với đường thẳng y = 6x – 1   

nên phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k=6

Hàm số (C) có pt  \(y = {x^4} + {x^2} + 1\,\,\,suy\,\,ra\,\,y' = 3{x^3} + {x^2}\)

Khi đó  hay  \(4{x^3} + {x^2} = 6 \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} + 4x + 6} \right) = 0 \Rightarrow x = 1\) (Vì \(4{x^2} + 4x + 6 > 0\)

Với x=1 thì \(y = {x^4} + {x^2} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3\)

Phương trình tiếp tuyến .của (C) là

\(y = 6\left( {x - 1} \right) = 6x - 3\)

Câu 18: Đáp án A 

Câu 19: Đáp án C

Câu 20: Đáp án B

Câu 21: Đáp án C

\(\int {2x + \dfrac{1}{{{x^2}}}}  = {x^2} - \dfrac{1}{x} + C = \dfrac{{{x^2} + Cx - 1}}{x}\)

Câu 22: Đáp án D

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x  - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3}\\f'\left( x \right) = 3{\left( {\sqrt x  - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2}\left( {\dfrac{1}{{2\sqrt x }} + \dfrac{1}{{2x\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{3}{2}\left( {x - 2 + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {\dfrac{1}{{2\sqrt x }} + \dfrac{1}{{2x\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{3}{2}\left( {\sqrt x  + \dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }} - \dfrac{2}{{x\sqrt x }} + \dfrac{1}{{x\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{3}{2}\left( {\sqrt x  - \dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{x\sqrt x }} + \dfrac{1}{{{x^2}\sqrt x }}} \right)\end{array}\)

\(f\left( x \right) = {\left( {\sqrt x  - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)^3}\)

Câu 23: Đáp án D

\(y = f\left( x \right) =  - \dfrac{1}{x}\)

\(\begin{array}{l}y = f\left( x \right) =  - \dfrac{1}{x}\\y' = f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2}}}\\y'' = f''\left( x \right) = \dfrac{{ - 2x}}{{{x^4}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{x^3}}}\\y''' = f'''\left( x \right) =  - \dfrac{{6{x^2}}}{{{x^6}}} = \dfrac{6}{{{x^4}}}\end{array}\)

Câu 24: Đáp án A

Xét hàm số \(y = {x^3} - x + 3\) có \(y -  = 3{x^2} - 1\). Tại điểm M(1;3) có

\(y'\left( 1 \right) = 3{\left( 1 \right)^2} - 1 = 2\)

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điêm M là:

\(y = 2\left( {x - 1} \right) + 3\) hay \(y = 2x + 1\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến  có phương trình \(y = 2x + 1\) và hàm số  . Ta có

\({x^3} - x + 3 = 2x + 1 \)

\(\Leftrightarrow {x^3} - 3x + 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow x = 1\)

câu 25: Đáp án A