Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(CD\).
Nối \(AC, AD, BC, BD\).
Xét \(∆ACD\) và \(∆BCD\) có:
\(AC = BC\) (bán kính hai cung tròn bằng nhau)
\(AD = BD\) (bán kính hai cung tròn bằng nhau)
\(CD\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆ACD = ∆BCD\) (c.c.c).
\( \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (hai góc tương ứng).
Xét \(∆AHC\) và \(∆BHC\) có:
\(AC = BC\) (bán kính hai cung tròn bằng nhau)
\(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (chứng minh trên)
\(CH\) cạnh chung
\( \Rightarrow ∆AHC = ∆BHC\) (c.g.c).
\( \Rightarrow AH = BH\) (hai cạnh tương ứng) (1)
\( \Rightarrow \widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}}\) (hai góc tương ứng)
\(\widehat {{H_1}} + \widehat {{H_2}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
\( \Rightarrow \widehat {{H_1}} = \widehat {{H_2}} = 90^\circ\)
\( \Rightarrow C{\rm{D}} \bot AB\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(CD\) là đường trung trực của \(AB.\)
