Kẻ \({\rm{DK}} \bot {\rm{BH}}\)
\(BH \bot AC\;\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow DK // AC\) (vì cùng vuông góc với \(BH\))
\( \Rightarrow \widehat {K{\rm{D}}B} = \widehat C\) (hai góc đồng vị)
Vì \(∆ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân)
\( \Rightarrow \widehat {K{\rm{D}}B} = \widehat B\)
Xét hai tam giác vuông \(BFD\) và \(DKB\) có:
\(\widehat {BF{\rm{D}}} = \widehat {DKB} = 90^\circ \)
\(BD\) cạnh chung
\(\widehat {FB{\rm{D}}} = \widehat {K{\rm{D}}B}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆BFD = ∆DKB\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\( \Rightarrow DF = BK \) (hai cạnh tương ứng) (1)
Nối \(DH.\)
Vì \(DK//AC\) nên \(\widehat {EH{\rm{D}}} = \widehat {K{\rm{D}}H}\) (hai góc so le trong)
Xét \(∆DEH\) và \(∆HKD\) có:
\(\widehat {DEH} = \widehat {HKD} = 90^\circ \)
\(DH\) cạnh chung
\(\widehat {EH{\rm{D}}} = \widehat {K{\rm{D}}H}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow ∆DEH = ∆HKD\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\( \Rightarrow DE = HK\) (hai cạnh tương ứng) (2)
Mặt khác: \(BH = BK + HK\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \( DF + DE = BH\).
