a) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0 = 1\). Ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {1 + \Delta x} \right)^2} + \left( {1 + \Delta x} \right) - {1^2} - 1\\\,\,\,\,\, = 1 + 2\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} + 1 + \Delta x - 2\\\,\,\,\,\, = \Delta x\left( {\Delta x + 3} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \Delta x + 3\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 3} \right) = 3\end{array}\)
Vậy \(f'(1) = 3\).
b) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 2\). Ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {2 + \Delta x} \right) - f\left( 2 \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{2 + \Delta x}} - \dfrac{1}{2}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2 - 2 - \Delta x}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}} = \dfrac{{ - \Delta x}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 1}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\dfrac{{ - 1}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{{2.2}} = - \dfrac{1}{4}\end{array}\)
Vậy \(f'(2) = - \dfrac{1}{4}\).
c) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 0\).Ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {\Delta x} \right) - f\left( 0 \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1}}{{\Delta x - 1}} - \dfrac{{0 + 1}}{{0 - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1}}{{\Delta x - 1}} + 1\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1 + \Delta x - 1}}{{\Delta x - 1}} = \dfrac{{2\Delta x}}{{\Delta x - 1}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{2}{{\Delta x - 1}}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\dfrac{2}{{\Delta x - 1}}} \right) = \dfrac{2}{{ - 1}} = - 2\end{array}\)
Vậy \(f'(0) = -2\).
