Xét giới hạn:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{{x_0} - x}}{{x.{x_0}\left( {x - {x_0}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{ - 1}}{{x.{x_0}}} = - \dfrac{1}{{x_0^2}}\\ \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = - \dfrac{1}{{x_0^2}}\end{array}\)
a) Ta có: \(y' \left ( \dfrac{1}{2} \right )= -4\).
Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm \((\dfrac{1}{2} ; 2)\) là \(y = - 4\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) + 2 = - 4x + 4\)
b) Ta có: \(y' (-1) = -1, y(-1)=-1\).
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là \(-1\) là: \(y = - \left( {x + 1} \right) - 1 = - x - 2\).
c) Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm. Ta có
\(y' (x_0) = - \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{x_{0}^{2}} = - \dfrac{1}{4}\)\(\Leftrightarrow x_{0}^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{0}= ±2\).
Với \(x_{0}= 2\) ta có \(y(2) = \dfrac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là \(y = - \dfrac{1}{4}\left( {x - 2} \right) + \dfrac{1}{2} = - \dfrac{1}{4}x + 1\).
Với \(x_{0} = -2\) ta có \(y (-2) = - \dfrac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là: \(y = - \dfrac{1}{4}\left( {x + 2} \right) - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{1}{4}x - 1\).
Chú ý: Trong các ý a, b, c đều sử dụng cách tính đạo hàm của hàm số tại điểm \(x=x_0\) bằng định nghĩa. Sau khi học xong bài 2 thì các em có thể quay lại làm lại bài tập này, việc tính đạo hàm sẽ dễ hơn rất nhiều.
