a) Tập xác định: \(D=\mathbb R\)
\(f'(x)=6x^2+6x\)
\(f'(x)=0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = - 1 \hfill \cr} \right.\)
Bảng biến thiên:
- Hàm số đông biến trên \(( - \infty ;-1)\) và \((0; + \infty )\)
- Hàm số nghịch biến trên \((-1;0)\)
- Hàm số đạt cực tại \(x=-1;y_{CĐ}=2\)
- Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0;y_{CT}=1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \pm \infty \)
Đồ thị giao trục \(Oy\) tại điểm \((0;1)\)
b) Hoành độ giao điểm của đường cong \((C)\) và paraobol \((P)\) là nghiệm của phương trình:
\(\eqalign{
& \,\,\,\,2{x^3} + 3{x^2} + 1 = 2{x^2} + 1 \Leftrightarrow 2{x^3} + {x^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2}\left( {2x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Với \(x = 0\) ta có \(y = 1\); với \(x = - {1 \over 2}\) ta có \(y = {3 \over 2}\)
Ta có giao điểm \(A(0;1)\) và \(B\left( { - {1 \over 2};{3 \over 2}} \right)\)
c) \(f'\left( x \right) = 6{x^2} + 6x;\,g'\left( x \right) = 4x\)
\(f'\left( 0 \right) = 0;\,g'\left( 0 \right) = 0\).
Đường thẳng \(y = 1\) là tiếp tuyến chung của \((C)\) và \((P)\) tại điểm \(A(0;1)\).
\(f'\left( { - {1 \over 2}} \right) = - {3 \over 2}\). Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(B\) là:
\(y = - {3 \over 2}\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {3 \over 2}\) hay \(y = - {3 \over 2}x + {3 \over 4}\)
\(g'\left( { - {1 \over 2}} \right) = - 2\). Phương trình tiếp tuyến của parabol \((P)\) tại điểm \(B\) là:
\(y = - 2\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {3 \over 2}\,hay\,\,y = - 2x + {1 \over 2}\)
d) Xét hiệu \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = 2{x^3} + 3{x^2} + 1 - 2{x^2} - 1 = 2{x^3} + {x^2} = {x^2}\left( {2x + 1} \right)\)
Xét dấu \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\):
Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)\) \((C)\) nằm phía dưới \((P)\)
Trên các khoảng \(\left( { - {1 \over 2};0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\) \((C)\) nằm phía trên \((P)\).
