a) \(\displaystyle{a \over b} = {{a(b + m)} \over {b(b + m)}} = {{ab + am} \over {{b^2} + bm}}\) (1)
\(\displaystyle{{a + m} \over {b + m}} = {{b(a + m)} \over {b(b + m)}} = {{ab + bm} \over {{b^2} + bm}}\) (2)
\(\displaystyle{a \over b} < 1 \Rightarrow a < b\)\(\Rightarrow ab + am < ab + bm\) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\displaystyle{a \over b} < {{a + m} \over {b + m}}.\)
b) Áp dụng: Rõ ràng \(\displaystyle{{434} \over {561}} < 1\) nên \(\displaystyle{{434} \over {561}} < {{434 + 7} \over {561 + 7}} = {{441} \over {568}}.\)
Bài 6.6
a) Cho phân số \(\displaystyle{a \over b}\) \((a, b ∈ N, b \ne 0).\)
Giả sử \(\displaystyle{a \over b} > 1\) và \(m ∈ N, m \ne 0.\) Chứng tỏ rằng :
\(\displaystyle{a \over b} > {{a + m} \over {b + m}}.\)
b) Áp dụng kết quả ở câu a) để so sánh \(\displaystyle{{237} \over {142}}\) và \(\displaystyle{{237} \over {142}}\)
a) \(\displaystyle{a \over b} = {{a(b + m)} \over {b(b + m)}} = {{ab + am} \over {{b^2} + bm}}\) (1)
\(\displaystyle{{a + m} \over {b + m}} = {{b(a + m)} \over {b(b + m)}} = {{ab + bm} \over {{b^2} + bm}}\) (2)
\(\displaystyle{a \over b} > 1 \Rightarrow a > b\)\(\Rightarrow ab + am > ab + bm\) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\displaystyle{a \over b} > {{a + m} \over {b + m}}.\)
b) \(\displaystyle{{237} \over {142}} > 1\) nên \(\displaystyle{{237} \over {142}} > {{237 + 9} \over {142 + 9}} = {{246} \over {151}}.\)
Bài 6.7
So sánh: \(\displaystyle A = {{{{17}^{18}} + 1} \over {{{17}^{19}} + 1}}\) và \(\displaystyle B = {{{{17}^{17}} + 1} \over {{{17}^{18}} + 1}}\)
\(\displaystyle A = {{{{17}^{18}} + 1} \over {{{17}^{19}} + 1}} < 1 \)
\(\displaystyle \Rightarrow A = {{{{17}^{18}} + 1} \over {{{17}^{19}} + 1}} \)\(\displaystyle < {{{{17}^{18}} + 1 + 16} \over {{{17}^{19}} + 1 + 16}} = {{{{17}^{18}} + 17} \over {{{17}^{19}} + 17}}\)\(=\displaystyle{{17.({{17}^{17}} + 1)} \over {17.({{17}^{18}} + 1)}} = {{{{17}^{17}} + 1} \over {{{17}^{18}} + 1}} = B;\)
Vậy \(A < B.\)
Bài 6.8
So sánh: \(\displaystyle C = {{{{98}^{99}} + 1} \over {{{98}^{89}} + 1}}\) và \(\displaystyle D = {{{{98}^{98}} + 1} \over {{{98}^{88}} + 1}}\)
\(\displaystyle C = {{{{98}^{99}} + 1} \over {{{98}^{89}} + 1}} > 1 \)
\(\displaystyle \Rightarrow C = {{{{98}^{99}} + 1} \over {{{98}^{89}} + 1}} \)\(\displaystyle > {{{{98}^{99}} + 1 + 97} \over {{{98}^{89}} + 1 + 97}} = {{{{98}^{99}} + 98} \over {{{98}^{89}} + 98}};\)
Mà \(\displaystyle{{{{98}^{99}} + 98} \over {{{98}^{89}} + 98}}\)\(\displaystyle ={{98.({{98}^{98}} + 1)} \over {98.({{98}^{88}} + 1)}} = {{{{98}^{98}} + 1} \over {{{98}^{88}} + 1}} = D;\)
Vậy \(C>D.\)
Phương pháp giải Sử dụng:
Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.
Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.
Áp dụng kết quả bài tập 6.5 để giải bài toán.
Áp dụng kết quả bài tập 6.6 để giải bài toán.
