Nối \(KA, KB, KC.\)
Ta có \(KD\) là đường trung trực của \(AB\)
\( \Rightarrow KA = KB\) (tính chất đường trung trực)
\( \Rightarrow ∆KAB\) cân tại \(K\) nên \(KD\) là đường phân giác của \(\widehat {AKB}\)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {{K_1}} = \widehat {{K_3}}\)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {AKB} = 2\widehat {{K_1}}\) (1)
\(KE\) là đường trung trực của \(AC\)
\( \Rightarrow KA = KC\) (tính chất đường trung trực)
\( \Rightarrow ∆KAC\) cân tại \(K\) nên \(KE\) là đường phân giác của \(\widehat {AKC}\)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {{K_2}} = \widehat {{K_4}}\)
\( \Rightarrow \widehat {AKC} = 2\widehat {{K_2}}\left( 2 \right)\)
\(\eqalign{
& K{\rm{D}} \bot AB\left( {gt} \right) \cr
& AC \bot AB\left( {gt} \right) \cr} \)
Suy ra \(KD // AC\)
Mà \(KE\bot AC\) nên \(KE\bot KD\) hay \(\widehat {DKE} = {90^o}\)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\widehat {AKB} + \widehat {AKC} = 2\left( {\widehat {{K_1}} + \widehat {{K_2}}} \right) \)\(\,= 2.\widehat {DKE} = {2.90^o} = {180^o}\)
Do đó \(B, K, C\) thẳng hàng.
