a)
\(\displaystyle \eqalign{
& {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} - 2{x^2} + 4x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} - 2\left( {{x^2} - 2x} \right) - 3 = 0 \cr} \)
Đặt \(\displaystyle {x^2} - 2x = t,\) ta có phương trình: \(\displaystyle {t^2} - 2t - 3 = 0\)
Phương trình có dạng: \(\displaystyle a - b + c = 0;\)
\(\displaystyle 1 - \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = 0\)
\(\displaystyle {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 3} \over 1} = 3\)
Ta có:
\(\displaystyle \eqalign{
& {x^2} - 2x = - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.1 = 1 - 1 = 0 \cr} \)
Phương trình có nghiệm kép: \(\displaystyle x_1= x_2= 1\)
\(\displaystyle {x^2} - 2x = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\)
Phương trình có dạng: \(\displaystyle a - b + c = 0;\)
\(\displaystyle 1 - \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = 0\)
\(\displaystyle {x_1} = - 1;{x_2} = - {{ - 3} \over 1} = 3\)
Vậy phương trình có \(\displaystyle 3\) nghiệm: \(\displaystyle {x_1} = 1;{x_2} = - 1;{x_3} = 3\)
b) \(\displaystyle 3\sqrt {{x^2} + x + 1} - x = {x^2} + 3,\) ta có: \(\displaystyle {x^2} + x + 1 = {\left( {x + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge 0\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 - 3\sqrt {{x^2} + x + 1} + 2 = 0\)
Đặt \(\displaystyle \sqrt {{x^2} + x + 1} = t \Rightarrow t \ge 0,\) ta có phương trình: \(\displaystyle {t^2} - 3t + 2 = 0\)
Phương trình có dạng: \(\displaystyle a + b + c = 0;\)
\(\displaystyle 1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0\)
\(\displaystyle {t_1} = 1;{t_2} = 2\)
\(\displaystyle \eqalign{
& \Rightarrow \sqrt {{x^2} + x + 1} = 1 \Rightarrow {x^2} + x + 1 = 1 \cr
& \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = 0 \cr
& \Rightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr
{x + 1 = 0} \cr
} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr
{x = - 1} \cr} } \right.} \right. \cr} \)
\(\displaystyle \eqalign{
& \sqrt {{x^2} + x + 1} = 2 \Rightarrow {x^2} + x + 1 = 4 \cr
& \Rightarrow {x^2} + x - 3 = 0 \cr
& \Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = 1 + 12 = 13 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {13} \cr
& {x_1} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over {2.1}} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2} \cr
& {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over {2.1}} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2} \cr} \)
Vậy phương trình có \(\displaystyle 4\) nghiệm: \( {x_1} = 0;{x_2} = 1;\) \(\displaystyle {x_3} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2};{x_4} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2}\)
