Phương pháp:
Áp dụng định lí Pytago: Bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
\(\Delta ABC\) có \(AB=AC\) nên \(\Delta ABC\) cân tại \(A\).
\( \Rightarrow \widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân)
Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\) có:
\(AB=AC=13\)
\( \widehat B = \widehat C\) (chứng minh trên)
\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}=90^o\)
\( \Rightarrow \Delta ABH = \Delta ACH\) (cạnh huyền - góc nhọn).
\( \Rightarrow BH = CH\) (hai cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow BH = BC:2 = 10:2 = 5\) (đơn vị độ dài).
Áp dụng định lí Pytago vào \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\), ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\\ \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\\ \Rightarrow A{H^2} = {13^2} - {5^2} = 144\\ \Rightarrow AH = 12\end{array}\)
Chọn D.
Bài 7.2
Một tam giác vuông có các cạnh góc vuông tỉ lệ với \(7\) và \(24\), chu vi bằng \(112 cm.\) Tính độ dài cạnh huyền.
Phương pháp:
Áp dụng định lí Pytago: Bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
Gọi \(b, c\,(cm)\) là độ dài các cạnh góc vuông, \(a\,(cm)\) là độ dài cạnh huyền \(\left( {112 > a,b,c > 0} \right)\).
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}
\dfrac{b}{7} = \dfrac{c}{{24}} = k\,\left( {k > 0} \right)\\
\Rightarrow b = 7k;\,c = 24k
\end{array}\)
Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:
\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2}\\ \Rightarrow {a^2} = {\left( {7k} \right)^2} + {\left( {24k} \right)^2} = 625{k^2}\\ \Rightarrow a = \sqrt {625{k^2}} = 25k\end{array}\)
Chu vi của tam giác bằng \(112 cm\) nên ta có:
\(a + b + c = 112 \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 25k + 7k + 24k = 112\\ \Rightarrow 56k = 112\\ \Rightarrow k = 112:56 = 2\text{(thỏa mãn)}\end{array}\)
\( \Rightarrow a = 25.2 = 50\,\left( {cm} \right)\)
Vậy cạnh huyền có độ dài là \(50\,cm.\)
Bài 7.3
Tìm số tự nhiên \(a\), biết rằng \(a, 8, 15\) là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
Phương pháp:
Áp dụng định lí Pytago: Bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
- Trường hợp 1: \( a\) là độ dài một cạnh góc vuông.
Áp dụng định lí Pytago ta có:
\(\begin{array}{l}{a^2} + {8^2} = {15^2}\\ \Rightarrow {a^2} = {15^2} - {8^2} = 161\\ \Rightarrow a = \sqrt {161} \end{array}\)
\(a\) không là số tự nhiên nên trường hợp này không thỏa mãn.
- Trường hợp 2: \( a\) là độ dài cạnh huyền.
Áp dụng định lí Pytago ta có:
\(\begin{array}{l}{a^2} = {8^2} + {15^2} = 289\\ \Rightarrow a = \sqrt {289} = 17\text{ (thỏa mãn)}\end{array}\)
