Gọi x, y là độ dài hai cạnh còn lại của tam giác.
Ta có: \(x + y = 16 - 6 = 10,\,x > 0,\,y > 0\)
Diện tích tam giác là: \(S = \sqrt {p\left( {p - 6} \right)\left( {p - x} \right)\left( {p - y} \right)} = \sqrt {8.2\left( {8 - x} \right)\left( {8 - y} \right)} = 4\sqrt {\left( {8 - x} \right)\left( {8 - y} \right)} \)
Thay y= 10- x , ta được \(S = 4\sqrt {\left( {8 - x} \right)\left( {x - 2} \right)} = 4\sqrt {{-x^2} + 10x - 16} \,\,\,\left( {0 < x < 10} \right)\)
S đạt gía trị lớn nhất trên khoảng (0;10) khi và chỉ khi hàm số \(f\left( x \right) = - {x^2} + 10x - 16\) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (0;10).
\(f'\left( x \right) = - 2x + 10;\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 5;\,f\left( 5 \right) = 9\)
Tam giác có diện tích lớn nhất khi x = 5 (cm) và y= 5 (cm)
\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left( {0;10} \right)} f\left( x \right) = f\left( 5 \right) = 9\)
Khi đó diện tích tam giác là: \(S = 4\sqrt 9 = 12\left( {c{m^2}} \right)\)
