a) Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + p\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + p = 0\,\,\left( 1 \right)\)
Hàm số f có một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow p < 0\)
Khi đó hai nghiệm của (1) là: \(x = - \sqrt { - {p \over 3}} ;\,\,\,x = \sqrt { - {p \over 3}} \)
Bảng biến thiên:
Với \(M = {\left( { - \sqrt { - {p \over 3}} } \right)^3} - p\sqrt { - {p \over 3}} +q= q - {2 \over 3}p\sqrt { - {p \over 3}} \)
\(m = {\left( {\sqrt { - {p \over 3}} } \right)^3} + p\sqrt { - {p \over 3}} + q = q + {2 \over 3}p\sqrt { - {p \over 3}} \)
b) Nếu Mm<0 và m < 0, khi đó, phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm \(\alpha ,\,\beta ,\,\gamma \) với \(\alpha < - \sqrt { - {p \over 3}} ; - \,\sqrt { - {p \over 3}} < \beta < \sqrt { - {p \over 3}} \,\,\text{và}\,\,\gamma > \sqrt { - {p \over 3}} \)
c) Nếu Mm > 0 thì hai số M và m cùng dấu.
Nếu M < 0 và m < 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất (Lớn hơn \(\sqrt { - {p \over 3}} \))
Nếu M > 0 và m > 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất ( Nhỏ hơn \(\sqrt { - {p \over 3}} \))
Vậy điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là:
\(\left\{ \matrix{
p < 0 \hfill \cr
Mm = {q^2} - {4 \over 9}{p^2}\left( { - {p \over 3}} \right) < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 4{p^3} + 27{q^2} < 0\)
