* Trường hợp \(M\) ở bên trong đường tròn \((O)\)
Kẻ cát tuyến \(MAB\) bất kì của \((O)\) và đường thẳng \(MO\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(C\) và \(D.\)
Xét hai \(∆MAC\) và \(∆MDB:\)
+) \(\widehat {AMC} = \widehat {BMD}\) (đối đỉnh)
+) \(\widehat {A} = \widehat D\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(\overparen{BC}\))
Suy ra: \(∆MAC\) đồng dạng \(∆MDB\) \((g.g)\)
\( \Rightarrow \displaystyle {{MA} \over {MD}} = {{MC} \over {MB}}\)
\( \Rightarrow MA.MB = MC.MD\) \((1)\)
Vì \(M, O\) cố định suy ra điểm \(C\) và \(D\) cố định nên độ dài của các đoạn \(MC\) và \(MD\) không đổi, suy ra tích \(MC.MD\) không đổi \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra tích \(MA. MB\) không đổi khi cát tuyến \(MAB\) thay đổi.
* Trường hợp điểm \(M\) ở ngoài đường tròn \((O)\)
Kẻ cát tuyến \(MAB\) bất kỳ của \((O)\) và đường thẳng \(MO\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(C\) và \(D\)
Xét \(∆MAD\) và \(∆MCB:\)
+) \(\widehat M\) chung
+) \(\widehat B = \widehat D\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(\overparen{AC}\))
Suy ra: \(∆MAD\) đồng dạng \(∆MCB\;\; (g.g)\)
\( \Rightarrow \displaystyle {{MC} \over {MA}} = {{MB} \over {MD}} \)
\(\Rightarrow MA.MB = MC.MD\) \( (3)\)
Vì \(M\) và \(O\) cố định suy ra điểm \(C, D\) cố định nên độ dài của các đoạn \(MC\) và \(MD\) không đổi, suy ra tích \(MC. MD\) không đổi \((4)\)
Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra tích \(MA. MB\) không đổi khi cát tuyến \(MAB\) thay đổi.
