\(a)\) Vì \(({d_1})\): \(5x - 2y = c\) đi qua điểm \(A(5; -1)\) nên
\(5.5 - 2.\left( { - 1} \right) = c \Leftrightarrow c = 27.\)
Khi đó phương trình đường thẳng \(({d_1})\): \(5x - 2y = 27\)
Vì \(\left( {{d_2}} \right):x + by = 2\) đi qua điểm \(B( -7; 3)\) nên
\( - 7 + 3b = 2 \Leftrightarrow 3b = 9 \Leftrightarrow b = 3\)
Khi đó phương trình đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):x + 3y = 2\)
Tọa độ giao điểm của \(({d_1})\) và \(({d_2})\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{5x - 2y = 27} \cr
{x + 3y = 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr
{5\left( {2 - 3y} \right) - 2y = 27} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr
{10 - 15y - 2y = 27} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr
{ - 17y = 17} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr
{y = - 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 5} \cr
{y = - 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy tọa độ giao điểm của \(({d_1})\) và \(({d_2})\) là \((5; -1)\)
\(b)\) Vì \(\left( {{d_1}} \right):ax + 2y = -3\) đi qua điểm \(M (3; 9)\) nên \(a.3 + 2.9 = - 3 \Leftrightarrow 3a = - 21 \\ \Leftrightarrow a = - 7\)
Khi đó phương trình đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right): - 7x + 2y = - 3\)
Vì \(\left( {{d_2}} \right):3x - by = 5\) đi qua điểm \(N (-1; 2)\) nên \(3.\left( { - 1} \right) - b.2 = 5 \Leftrightarrow - 2b = 8 \\ \Leftrightarrow b = - 4\)
Khi đó phương trình đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):3x + 4y = 5\)
Tọa độ giao điểm của \(({d_1})\)và \(({d_2})\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 7x + 2y = - 3} \cr
{3x + 4y = 5} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle {{7x - 3} \over 2}} \cr
{\displaystyle 3x + 4.{{7x - 3} \over 2} = 5} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle {{7x - 3} \over 2}} \cr
{17x = 11} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y =\displaystyle {{7x - 3} \over 2}} \cr
{x = \displaystyle{{11} \over {17}}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x =\displaystyle {{11} \over {17}}} \cr
{y = \displaystyle {{13} \over {17}}} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy tọa độ giao điểm của \(({d_1})\)và \(({d_2})\) là \(\displaystyle\left( {{{11} \over {17}};{{13} \over {17}}} \right)\).
