Bài 24 trang 10 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ:

\(a)\)

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} + {1 \over y} = {4 \over 5}} \cr 
\displaystyle{{1 \over x} - {1 \over y} = {1 \over 5}} \cr} } \right.\)

\(b)\)

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{{15} \over x} - {7 \over y} = 9} \cr 
\displaystyle{{4 \over x} + {9 \over y} = 35} \cr} } \right.\)

\(c)\)

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over {x + y}} + {1 \over {x - y}} = {5 \over 8}} \cr 
\displaystyle{{1 \over {x + y}} - {1 \over {x - y}} = - {3 \over 8}} \cr} } \right.\)

\(d)\)

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{4 \over {2x - 3y}} + {5 \over {3x + y}} = - 2} \cr 
\displaystyle{{3 \over {3x + y}} - {5 \over {2x - 3y}} = 21} \cr} } \right.\)

\(e)\)

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{7 \over {x - y + 2}} - {5 \over {x + y - 1}} = 4,5} \cr 
\displaystyle{{3 \over {x - y + 2}} + {2 \over {x + y - 1}} = 4} \cr} } \right.\)

\(a)\) Điều kiện: \(x \ne 0;y \ne 0.\)

Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b\) \((a \ne 0;b \ne 0)\)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = \displaystyle{4 \over 5}} \cr 
{a - b = \displaystyle{1 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + \displaystyle{1 \over 5}} \cr 
{b + \displaystyle{1 \over 5} + b = {4 \over 5}} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + \displaystyle{1 \over 5}} \cr 
{2b = \displaystyle{3 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + \displaystyle{1 \over 5}} \cr 
{b =\displaystyle {3 \over {10}}} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \displaystyle{1 \over 2}} \cr 
{b = \displaystyle {3 \over {10}}} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)}   \cr } \) 

Suy ra: 

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = {1 \over 2}} \cr 
\displaystyle{{1 \over y} = {3 \over {10}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr 
\displaystyle{y = {{10} \over 3}} \cr} }  \text {(thoả mãn)} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;y} \right) = \displaystyle\left( {2;{{10} \over 3}} \right)\)

\(b)\) Điều kiện: \(x \ne 0;y \ne 0\)

Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b\) \((a \ne 0;b \ne 0)\)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{15a - 7b = 9} \cr 
{4a + 9b = 35} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr 
\displaystyle{4a + 9.{{15a - 9} \over 7} = 35} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr 
{28a + 135a - 81 = 245} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr 
{163a = 326} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr 
{a = 2} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3} \cr 
{a = 2} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr} \)

Suy ra: 

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = 2} \cr 
\displaystyle{{1 \over y} = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = \displaystyle{1 \over 2}} \cr 
{y = \displaystyle{1 \over 3}} \cr} } \right.\text {(thoả mãn)}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y)\) = \(\displaystyle \left( {{1 \over 2};{1 \over 3}} \right)\)

\(c)\) Điều kiện: \(x \ne  \pm y\). Đặt \(\displaystyle{1 \over {x + y}} = a;{1 \over {x - y}} = b\) \((a \ne 0;b \ne 0)\)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = \displaystyle{5 \over 8}} \cr 
{a - b =\displaystyle - {3 \over 8}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b - \displaystyle{3 \over 8}} \cr 
{b - \displaystyle{3 \over 8} + b = {5 \over 8}} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \displaystyle b - {3 \over 8}} \cr 
{b = \displaystyle{1 \over 2}} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \displaystyle{1 \over 8}} \cr 
{b =\displaystyle {1 \over 2}} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr} \)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over {x + y}} = {1 \over 8}} \cr 
\displaystyle{{1 \over {x - y}} = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y = 8} \cr 
{x - y = 2} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr 
{y + 2 + y = 8} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr 
{2y = 6} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr 
{y = 3} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 5} \cr 
{y = 3} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr} \)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) =  (5; 3).\)

\(d)\) Điều kiện: \(x \ne \displaystyle{3 \over 2}y;x \ne  - {1 \over 3}y.\) Đặt \(\displaystyle{1 \over {2x - 3y}} = a;{1 \over {3x + y}} = b\) 

\((a \ne 0;b \ne 0)\)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4a + 5b = - 2} \cr 
{3b - 5a = 21} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = \displaystyle{{5a + 21} \over 3}} \cr 
{4a + \displaystyle5.{{5a + 21} \over 3} = - 2} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b =\displaystyle {{5a + 21} \over 3}} \cr 
{12a + 25a + 105 = - 6} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b =\displaystyle {{5a + 21} \over 3}} \cr 
{37a = - 111} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b =\displaystyle {{5a + 21} \over 3}} \cr 
{a = - 3} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 2} \cr 
{a = - 3} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr} \)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over {2x - 3y}} = - 3} \cr 
\displaystyle{{1 \over {3x + y}} = 2} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x - 3y = \displaystyle- {1 \over 3}} \cr 
{3x + y =\displaystyle {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle{1 \over 2} - 3x} \cr 
{2x - \displaystyle 3\left( {{1 \over 2} - 3x} \right) = {-1 \over 3}} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle{1 \over 2} - 3x} \cr 
{2x + 9x = \displaystyle - {1 \over 3} + {3 \over 2}} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y =\displaystyle {1 \over 2} - 3x} \cr 
{11x = \displaystyle{7 \over 6}} \cr
} } \right. \cr&  \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle{1 \over 2} - 3x} \cr 
{x =\displaystyle {7 \over {66}}} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \displaystyle{1 \over 2} - {7 \over {22}}} \cr 
{x = \displaystyle{7 \over {66}}} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y =\displaystyle {2 \over {11}}} \cr 
{x =\displaystyle {7 \over {66}}} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr} \)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là\((x; y) = \displaystyle \left( {{7 \over {66}};{2 \over {11}}} \right)\)

\(e)\) Điều kiện:\(x - y + 2 \ne 0;x + y - 1 \ne 0.\)

Đặt \(\displaystyle{1 \over {x - y + 2}} = a;{1 \over {x + y - 1}} = b.\) 

\((a \ne 0;b \ne 0)\)

Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{7a - 5b = 4,5} \cr 
{3a + 2b = 4} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = \displaystyle{{4 - 3a} \over 2}} \cr 
{7a - \displaystyle 5.{{4 - 3a} \over 2} = 4,5} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b =\displaystyle {{4 - 3a} \over 2}} \cr 
{14a - 20 + 15a = 9} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b =\displaystyle {{4 - 3a} \over 2}} \cr 
{29a = 29} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b =\displaystyle {{4 - 3a} \over 2}} \cr 
{a = 1} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b =\displaystyle {1 \over 2}} \cr 
{a = 1} \cr} } \right.\text {(thoả mãn)} \cr 
& \Rightarrow \left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over {x - y + 2}} = 1} \cr 
\displaystyle{{1 \over {x + y - 1}} = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x - y + 2 = 1} \cr 
{x + y - 1 = 2} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y - 1} \cr 
{y - 1 + y - 1 = 2} \cr} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y - 1} \cr 
{2y = 4} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y - 1} \cr 
{y = 2} \cr} } \right. \cr&  \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr 
{y = 2} \cr} } \right. \text {(thoả mãn)} \cr} \)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((x; y) =  (1; 2).\)