a) Cách 1: Thực hiện nhân phá ngoặc và thu gọn, ta được:
\(\left\{\begin{matrix} 2(x+y)+3(x-y) =4 & & \\ (x+y) +2(x-y) =5 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+2y+3x-3y =4 & & \\ x+y +2x-2y =5 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5x-y =4 & & \\ 3x-y =5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x =-1 & & \\ 3x-y =5 & & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x =-\dfrac{1}{2} & & \\ y =3x-5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x =-\dfrac{1}{2} & & \\ y =3.\dfrac{-1}{2}-5 & & \end{matrix}\right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x =-\dfrac{1}{2} & & \\ y =\dfrac{-13}{2} & & \end{matrix}\right.\)
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là \({\left( \dfrac{-1}{2}; \dfrac{-13}{2} \right)}\).
Cách 2: Đặt ẩn phụ.
Đặt \(\left\{\begin{matrix}x+y=u & & \\ x-y=v & & \end{matrix}\right.\) ta có hệ phương trình mới (ẩn \(u,\ v\) )
\(\left\{\begin{matrix} 2u + 3v = 4 & & \\ u + 2v = 5& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2u + 3v = 4 & & \\ 2u + 4v = 10& & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2u + 3v = 4 & & \\ -v = -6& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2u + 3v = 4 & & \\ v = 6& & \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2u = 4- 3 . 6 & & \\ v = 6& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u = -7 & & \\ v = 6& & \end{matrix}\right.\)
Với \(u=-7;v=6\) thay lại cách đặt, ta được:
\(\left\{\begin{matrix} x+ y = -7 & & \\ x - y = 6& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x = -1 & & \\ x - y = 6& & \end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix} x=\dfrac{-1}{2} & & \\ y = x- 6 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =-\dfrac{1}{2} & & \\ y = -\dfrac{13}{2}& & \end{matrix}\right.\)
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là \({\left( \dfrac{-1}{2}; \dfrac{-13}{2} \right)}\).
b) Phá ngoặc và thu gọn vế trái của hai phương trình trong hệ, ta được:
\(\left\{\begin{matrix} 2(x-2)+3(1+y)=-2 & & \\ 3(x - 2)- 2(1+ y) = -3& & \end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2x-4+3+3y=-2 & & \\ 3x - 6- 2-2 y = -3& & \end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left\{\begin{matrix} 2x+3y=-1 & & \\ 3x-2 y = 5& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} 6x+9y=-3 & & \\ 6x-4 y = 10& & \end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{\begin{matrix} 6x+9y=-3 & & \\ 13y = -13& & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} 6x=-3 - 9y & & \\ y = -1& & \end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left\{\begin{matrix} 6x=6 & & \\ y = -1& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y = -1& & \end{matrix}\right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \((1; -1)\).
