Vì \(CD = 2AB\) (gt) nên \(\displaystyle AB = {1 \over 2}CD\).
Vì \(E\) là trung điểm của \(CD\) nên \(\displaystyle DE = EC = {1 \over 2}CD\)
\( \Rightarrow AB = DE = EC\).
Xét tứ giác \(ABCE \) có \(AB//EC\) và \(AB = EC\) nên \(ABCE\) là hình bình hành.
\( \Rightarrow AE//BC\) (tính chất hình bình hành).
Vì \(AB//DC\) nên \(\widehat {ABE} = \widehat {BEC}\) (cặp góc so le trong).
Vì \(AE//BC\) nên \(\widehat {AEB} = \widehat {EBC}\) (cặp góc so le trong).
Xét \(∆ AEB\) và \(∆ CBE\) có:
\(\widehat {ABE} = \widehat {BEC}\) (cmt)
\(\widehat {AEB} = \widehat {EBC}\) (cmt)
\(BE \) cạnh chung
\(⇒ ∆ AEB = ∆ CBE\; (g.c.g)\) (1)
Hình thang \(ABED\) có đáy \(AB = DE\) nên hai cạnh bên \(AD\) và \(BE\) song song với nhau.
Vì \(AB//CD\) nên \(\widehat {BAE} = \widehat {AED}\) (cặp góc so le trong).
Vì \(AD//BE\) nên \(\widehat {AEB} = \widehat {EAD}\) (cặp góc so le trong).
Xét \(∆ AEB\) và \(∆ EAD\) có:
\(\widehat {BAE} = \widehat {AED}\) (cmt)
\(\widehat {AEB} = \widehat {EAD}\) (cmt)
\(AE\) cạnh chung
\(⇒ ∆ AEB = ∆ EAD \;(g.c.g)\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(∆ AEB = ∆ EAD = ∆ CBE\).
Do đó ba tam giác \(ADE, ABE\) và \(BEC \) đồng dạng với nhau từng đôi một.
