a) Đường thẳng \(y = \left( {m - 2} \right)x + n\,\,\,\,\,\left( {m \ne 2} \right)\) đi qua hai điểm \(A(-1;2)\) và \(B(3; -4)\)nên tọa độ của \(A\) và \(B\) nghiệm đúng phương trình đường thẳng.Điểm \(A\):\(\eqalign{& 2 = \left( {m - 2} \right).\left( { - 1} \right) + n \cr & \Leftrightarrow 2 = - m + 2 + n \cr & \Leftrightarrow m = n\, (1) \cr} \)
Điểm \(B\):\(\eqalign{& - 4 = \left( {m - 2} \right).3 + n \cr & \Leftrightarrow 3m + n = 2 \, (2)\cr} \) Thay (1) vào (2) ta có:\(\eqalign{& 3m + m = 2 \cr & \Leftrightarrow 4m = 2 \cr & \Leftrightarrow m = {1 \over 2} \cr} \)
Vậy với \(m = n = \dfrac{1}{2}\) thì đường thẳng \(y = \left( {m - 2} \right)x + n\,\,\,\,\,\left( {m \ne 2} \right)\) đi qua hai điểm \(A(-1;2)\) và \(B(3;-4).\)
b) Đường thẳng \(y = (m – 2)x + n\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1 - \sqrt 2 \) nên ta có: \(n = 1 - \sqrt 2 \).Đường thẳng \(y = \left( {m - 2} \right)x + n\) cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng \(2 + \sqrt 2 \) nên ta có tung độ của giao điểm bằng 0.
Ta có:\(\eqalign{& 0 = \left( {m - 2} \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right) + 1 - \sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 2 } \right)m - 4 - 2\sqrt 2 + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 2 } \right)m = 3 + 3\sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow m = {{3 + 3\sqrt 2 } \over {2 + \sqrt 2 }} = {{3\left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \over {\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 2 } \right)}} \cr & = {3 \over {\sqrt 2 }} = {{3\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)Vậy với \(n = 1 - \sqrt 2 \) và \(m = {{3\sqrt 2 } \over 2}\) thì đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1 - \sqrt 2 \) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \(2 + \sqrt 2 \).
c) Đường thẳng \(y = \left( {m - 2} \right)x + n\) cắt đường thẳng \(y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3 }{2}\) khi và chỉ khi \(m - 2 \ne \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2} + 2 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{5 }{2}\).Vậy với \(m \ne \dfrac{5 }{2}\) thì đường thẳng (d) cắt đường thẳng \(y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3}{2}\).
d) Đường thẳng \(y = \left( {m - 2} \right)x + n\) song song với đường thẳng \(y = - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1 }{2}\) khi và chỉ khi \(m - 2 = - \dfrac{3}{2}\) và \(n \ne \dfrac{1}{2}\) .Ta có: \(m - 2 = - \dfrac{3}{2} \)\(\Leftrightarrow m = - \dfrac{3 }{2} + 2 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{ 2}\)Vậy với \(m = \dfrac{1}{2}\) và \(n \ne \dfrac{1}{2}\) thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng \(y = - \dfrac{3 }{2}x + \dfrac{1 }{ 2}.\)
e) Đường thẳng \(y = \left( {m - 2} \right)x + n\) trùng với đường thẳng \(y = 2x – a\) khi và chỉ khi \(m - 2 = 2\) và \(n = -3\).Ta có: \(m - 2 = 2 \Leftrightarrow m = 4\)Vậy với \(m = 4\) và \(n = -3\) thì đường thẳng (d) trùng với đường thẳng \(y = 2x – 3.\)
