a) Hai số \(u\) và \(v\) có \(u + v = 14, uv = 40\) nên \(u,v\) là nghiệm của phương trình:
\({x^2} - 14x + 40 = 0 \)
\( \Delta ' = {\left( { - 7} \right)^2} - 1.40 = 49 - 40 = 9 > 0 \)
\( \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3 \)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\(\displaystyle {x_1} = {{7 + 3} \over 1} = 10;{x_2} = {{7 - 3} \over 1} = 4\)
Vậy \(u = 10; v = 4\) hoặc \(u = 4; v = 10\).
b) Hai số \(u\) và \(v\) có \(u + v = -7\) và \(uv = 12\) nên \(u,v\) là nghiệm của phương trình \({x^2} + 7x + 12 = 0\)
\( \Delta = {7^2} - 4.1.12 = 49 - 48 = 1 > 0 \)
\( \sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1 \)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\(\displaystyle {x_1} = {{ - 7 + 1} \over {2.1}} = - 3 \)
\(\displaystyle {x_2} = {{ - 7 - 1} \over {2.1}} = - 4 \)
Vậy \(u = -3; v = -4\) hoặc \(u = -4; v = -3.\)
c) Hai số \(u\) và \(v\) có \(u + u = -5, uv = -24\) nên \(u,v\) là nghiệm của phương trình \({x^2} + 5x - 24 = 0\)
\(\Delta = {5^2} - 4.1.\left( { - 24} \right) = 25 + 96 \)\(\,= 121 > 0 \)
\( \sqrt \Delta = \sqrt {121} = 11 \)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\(\displaystyle {x_1} = {{ - 5 + 11} \over {2.1}} = 3 \)
\(\displaystyle{x_2} = {{ - 5 - 11} \over {2.1}} = - 8 \)
Vậy \(u = 3; v = -8\) hoặc \(u = -8; v = 3\).
d) Hai số \(u\) và \(v\) có \(u + v = 4, uv = 19\) nên \(u,v\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 4x + 19 = 0\)
\(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.19 = 4 - 19 \)\(\,= - 15 < 0\)
Phương trình vô nghiệm nên không có giá trị nào của \(u\) và \(v\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
e) Hai số \(u\) và \(v\) có \(u - v = 10\) và \(uv = 24\) suy ra \(u + (-v) = 10\) và \(u(-v) = -24\) nên hai số \(u\) và \(-v\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 10x - 24 = 0\)
\( \Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 1.\left( { - 24} \right) = 25 + 24 \)\(\,= 49 > 0 \)
\( \sqrt {\Delta '} = \sqrt {49} = 7 \)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
\(\displaystyle {x_1} = {{5 + 7} \over 1} = 12 \)
\(\displaystyle {x_2} = {{5 - 7} \over 1} = - 2 \)
\(⇒ u = 12; -v = -2 \) hoặc \(u = -2; -v = 12 \)
Vậy \(u = 12; v = 2\) hoặc \(u = -2; v = -12\).
f) Hai số \(u\) và \(v\) có \({u^2} + {v^2} = 85\) và \(uv = 18\) suy ra \({u^2}{v^2} = 324\) nên hai số \({u^2}\) và \({v^2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 85x + 324 = 0\)
\( \Delta = {\left( { - 85} \right)^2} - 4.1.324\)\(\, = 7225 - 1296 = 5929 > 0\)
\( \sqrt \Delta = \sqrt {5929} = 77 \)
\(\displaystyle {x_1} = {{85 + 77} \over {2.1}} = 81 \)
\(\displaystyle {x_2} = {{85 - 77} \over {2.1}} = 4 \)
\(⇒ {u^2} = 81;{v^2} = 4\) hoặc \({u^2} = 4;{v^2} = 81\)
\(⇒ u = ± 9; v = ± 2\) hoặc \(u = ± 2; v = ± 9\).
Vì \(uv = 18\) nên \(u\) và \(v \) cùng dấu, do đó ta có:
- Nếu \(u = 9\) thì \(v = 2\)
- Nếu \(u = -9\) thì \(v = -2\)
- Nếu \(u = 2\) thì \(v = 9\)
- Nếu \(u = -2\) thì \(v = -9\).
