a) \(3{x^3} + 6{x^2} - 4x = 0 \)
\(\Leftrightarrow x\left( {3{x^2} + 6x - 4} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(3{x^2} + 6x - 4 = 0\)
Giải phương trình \( 3{x^2} + 6x - 4 = 0 \)
\( \Delta ' = {3^2} - 3.\left( { - 4} \right) = 9 + 12 = 21 > 0 \)
\( \sqrt {\Delta '} = \sqrt {21} \)
\(\displaystyle {x_1} = {{ - 3 + \sqrt {21} } \over 3};{x_2} = {{ - 3 - \sqrt {21} } \over 3} \)
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: \(\displaystyle {x_1} = {{ - 3 + \sqrt {21} } \over 3};{x_2} = {{ - 3 - \sqrt {21} } \over 3}\); \({x_3} = 0.\)
b) \({\left( {x + 1} \right)^3} - x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) \)
\( \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - x + 1 = {x^2} \)\(\,- 2x - x + 2 \)
\(\Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} + 5x = 0 \)
\( \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2x + 5} \right) = 0 \)
\( \Leftrightarrow x = 0 \) hoặc \({x^2} + 2x + 5 = 0\)
Giải phương trình \( {x^2} + 2x + 5 = 0 \) (*)
\(\Delta ' = 1 - 1.5 = 1 - 5 = - 4 < 0 \)
Phương trình (*) vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm \(x = 0\).
c) \({\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} = {\left( {4x - 1} \right)^2} \)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} - {\left( {4x - 1} \right)^2} = 0 \)
\( \Leftrightarrow {\rm{[(}}{x^2} + x + 1) + (4x - 1){\rm{]}}.{\rm{[(}}{x^2} + x \)\(\,+ 1) - (4x - 1){\rm{]}} = 0\)
\( \Leftrightarrow ( {x^2} + x + 1 + 4x - 1)({x^2} + x + 1\)\(\, - 4x + 1) = 0 \)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 5x} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow x\left( {x + 5} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0 \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 5 = 0\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 5\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right.\)
Giải phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\) (2*)
Ta có \(a + b + c = 0=1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0\)
Phương trình (2*) có hai nghiệm: \({x_3} = 1;{x_4} = 2\).
Vậy phương trình đã cho có \(4\) nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = - 5;{x_3} = 1;{x_4} = 2\).
d) \({\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^2} = 6\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) \)
\(\Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^2} - 6\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\)\(\, = 0 \)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\left[ {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) - 6} \right]\)\(\, = 0 \)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\left( {{x^2} + 3x - 4} \right) = 0 \)
\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{{x^2} + 3x + 2 = 0} \cr
{{x^2} + 3x - 4 = 0} \cr} } \right. \)
Giải phương trình \({x^2} + 3x + 2 = 0\) (3*) có \(a - b + c=1 - 3 + 2 = 0 \)
Phương trình (3*) có hai nghiệm: \({x_1} = - 1;{x_2} = - 2 \)
Giải phương trình \({x^2} + 3x - 4 = 0\) (4*) có \(a + b + c = 1 + 3 + \left( { - 4} \right) = 0 \)
Phương trình (4*) có hai nghiệm: \( {x_3} = 1;{x_4} = - 4 \).
Vậy phương trình đã cho có \(4\) nghiệm: \({x_1} = - 1;{x_2} = - 2;{x_3} = 1;{x_4} = - 4\).
e) \({\left( {2{x^2} + 3} \right)^2} - 10{x^3} - 15x = 0 \)
\( \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} + 3} \right)^2} - 5x\left( {2{x^2} + 3} \right) = 0 \)
\( \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + 3} \right)\left( {2{x^2} + 3 - 5x} \right) = 0 \)
Ta có: \( 2{x^2} \ge 0 \Rightarrow 2{x^2} + 3 > 0 \)
Do đó \(\left( {2{x^2} + 3} \right)\left( {2{x^2} + 3 - 5x} \right) = 0 \)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 3 = 0 \)
Giải phương trình \(2{x^2} - 5x + 3 = 0 \) (5*) có \(a + b + c = 2 + \left( { - 5} \right) + 3 = 0 \)
Phương trình (5*) có hai nghiệm \( \displaystyle {x_1} = 1;{x_2} = {3 \over 2} \)
Vậy phương trình đã cho có \(2\) nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = \displaystyle {3 \over 2}\).
f) \({x^3} - 5{x^2} - x + 5 = 0 \)
\( \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 5} \right) - \left( {x - 5} \right) = 0 \)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \)
\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x - 5 = 0} \cr
{x + 1 = 0} \cr
{x - 1 = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = 5} \cr
{x = - 1} \cr
{x = 1} \cr} } \right.} \right. \)
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: \({x_1} = 5;{x_2} = - 1;{x_3} = 1\).
