Bài 5.13 trang 221 SBT giải tích 12

Với số a dương và khác 1, giả sử có ba hàm số:

\(s(x) = {{{a^x} - {a^{ - x}}} \over 2};c(x) = {{{a^x} + {a^{ - x}}} \over 2};t(x) = {{{a^x} - {a^{ - x}}} \over {{a^x} + {a^{ - x}}}}\)

Hãy chứng minh rằng:

a) \({c^2}(x) - {s^2}(x) = 1\)                   

b) \(s(2x) = 2s(x)c(x)\)

c)   \(c(2x) = 2{c^2}(x) - 1 = 2{s^2}(x) + 1 = {c^2}(x) + {s^2}(x)\)  

d) \(t(2x) = {{2t(x)} \over {1 + {t^2}(x)}}\)

Với a dương và khác 1, ta có:

a)  \({c^2}(x) - {s^2}(x) = {({{{a^x} + {a^{ - x}}} \over 2})^2} - {({{{a^x} - {a^{ - x}}} \over 2})^2}\)

\(= {{{a^{2x}} + {a^{ - 2x}} + 2 - {a^{2x}} - {a^{ - 2x}} + 2} \over 4} = {4 \over 4} = 1\)

d) \(t(2x) = {{{a^{2x}} - {a^{ - 2x}}} \over {{a^{2x}} + {a^{ - 2x}}}}\) . Mặt khác, ta có:

 \(1 + {t^2}(x) = 1 + {({{{a^x} - {a^{ - x}}} \over {{a^x} + {a^{ - x}}}})^2} = {{2({a^{2x}} + {a^{ - 2x}})} \over {{a^{2x}} + {a^{ - 2x}} + 2}}\)

Ta biến đổi vế phải  

\({{2t(x)} \over {1 + {t^2}(x)}} = 2{{{a^x} - {a^{ - x}}} \over {{a^x} + {a^{ - x}}}}.{{{a^{2x}} + {a^{ - 2x}} + 2} \over {2({a^{2x}} + {a^{ - 2x}})}}\)

\(= {{2({a^x} - {a^{ - x}}){{({a^x} + {a^{ - x}})}^2}} \over {2({a^x} + {a^{ - x}})({a^{2x}} + {a^{ - 2x}})}} = {{{a^{2x}} - {a^{ - 2x}}} \over {{a^{2x}} + {a^{ - 2x}}}}\)