a) \(y = {1 \over 3}{x^3} + {x^2} - 3x + 4{1 \over 2}\)
+) Tập xác định: D = R
+) Sự biến thiên: y’ = x2 + 2x – 3
\(y' = 0\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 1} \cr {x = - 3} \cr} } \right.\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -3) và (1; +∞), nghịch biến trên khoảng (-3; 1).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 3;{y_{CD}} = 13{1 \over 2};{y_{CT}} = 2{5 \over 6}\) khi x = 1
Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0;4{1 \over 2})\) và có dạng như hình dưới đây.
\(y’’ = 2x + 2 ; y’’ = 0 \Leftrightarrow x = -1.\) Vậy là tâm đối xứng của đồ thị.
b) Tiếp tuyến với (C) đi qua \(A(0;4{1 \over 2})\) có phương trình là:\(y = f'(0)x + 4{1 \over 2}\), trong đó \(f(x) = {1 \over 3}{x^3} + {x^2} - 3x + 4{1 \over 2}\)
Ta có f ’(0) = -3.
Vậy phương trình tiếp tuyến là \(y = - 3x + 4{1 \over 2}\)
c) \(S = \int\limits_0^2 {({1 \over 3}{x^3} + {x^2} - 3x + 4{1 \over 2})dx = 7} \) (đơn vị diện tích).
d) Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y = - 3x + 4{1 \over 2}\) với đồ thị của (1) thỏa mãn phương trình
\({1 \over 3}{x^3} - (m - 1){x^2} + (m - 3)x + 4{1 \over 2} = - 3x + 4{1 \over 2}\) (2)
Ta có \((2)\Leftrightarrow {1 \over 3}{x^3} - (m - 1){x^2} + mx = 0\)
\(\Leftrightarrow x{\rm{[}}{x^2} - 3(m - 1)x + 3m] = 0\)
Để (2) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình f(x) = x2– 3(m – 1)x + 3m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là:
\(\left\{ {\matrix{{f(0) = 3m \ne 0} \cr {\Delta = 9{{(m - 1)}^2} - 12m > 0} \cr} } \right.\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{m \ne 0} \cr {\left[ {\matrix{{m < {1 \over 3},m \ne 0} \cr {m > 3} \cr} } \right.} \cr} } \right.\).
