a) Bất phương trình đã cho tương đương với
\({({1 \over 2})^{{1 \over x}}} \ge {1 \over {16}} \Leftrightarrow {({1 \over 2})^{{1 \over x}}} \ge {({1 \over 2})^4}\)
\(\Leftrightarrow {1 \over x} \le 4 \Leftrightarrow {1 \over x} - 4 \le 0 \Leftrightarrow {{1 - 4x} \over x} \le 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x \ge {1 \over 4}} \cr {x < 0} \cr} } \right.\)
b) Điều kiện: \(\left[ {\matrix{{x > 2} \cr {x < - 2} \cr} } \right.\)
Bất phương trình đã cho tương đương với
\({\log _{0,2}}({x^2} - 4) \ge {\log _{0,2}}0,{2^{ - 1}} = {\log _{0,2}}5\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 4 \le 5\) (vì 0,2 < 1) \( \Leftrightarrow {x^2} - 9 \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le x \le 3\)
Kết hợp với điều kiện, ta được \(\left[ {\matrix{{2 < x \le 3} \cr { - 3 \le x < - 2} \cr} } \right.\)
c) Bất phương trình đã cho tương đương với \(0 < {\log _{0,5}}({2^x} - {{15} \over {16}}) \le 4\)
\( \Leftrightarrow 1 > {2^x} - {{15} \over {16}} \ge 0,{5^4}\)
\(\Leftrightarrow {{31} \over {16}} > {2^x} \ge 1\)
\(\Leftrightarrow {\log _2}{{31} \over {16}} > x \ge 0\)
\( \Leftrightarrow 0 \le x < {\log _2}31 - 4\)
Ở đây, chúng ta đã áp dụng tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số logarit và hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1 và nhỏ hơn 1.
d) Bất phương trình đã cho tương đương với \(0 < {16^x} - {2.12^x} \le {3^{2x + 1}}\)
\(\Leftrightarrow 0 < {4^x}{.4^x} - {2.4^x}{.3^x} \le {3^x}{.3^x}.3\)
\(\Leftrightarrow 0 < {({4 \over 3})^{2x}} - 2{({4 \over 3})^x} \le 3\) (1)
(Ta đã chia cả hai vế cho \({9^x}\;\left( {{9^x} > {\rm{ }}0{\rm{ }}} \right)\))
Đặt \({({4 \over 3})^x} = t(t > 0)\) , ta có hệ bất phương trình:
\(\left\{ {\matrix{{{t^2} - 2t \le 3} \cr {{t^2} - 2t > 0} \cr {t > 0} \cr} } \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t > 0} \cr {{t^2} - 2t - 3 \le 0} \cr {{t^2} - 2t > 0} \cr} } \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t > 0} \cr { - 1 \le t \le 3} \cr {\left[ {\matrix{{t > 2} \cr {t < 0} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow 2 < t \le 3\)
Từ đó, ta có \(2 < {({4 \over 3})^x} \le 3 < = > {\log _{{4 \over 3}}}2 < x \le {\log _{{4 \over 3}}}3\).
