a) Đáp số: \(13{1 \over 2} + 2(e - {1 \over {\sqrt e }})\)
b) Đáp số: \({{7\sqrt 2 } \over 3} - 5{5 \over 8} + \sin 2 - \sin {1 \over 2}\)
c) Đáp số: \(\sqrt 7 - \sqrt 5 \)
d) Đổi biến \(t = \root 3 \of {3{x^3} + 4} \)
\(\Rightarrow {t^3} = 3{x^3} + 4 \Rightarrow 3{t^2}dt = 9{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = {1 \over 3}{t^2}dt\)
Ta có
\(\eqalign{
& \int\limits_1^2 {\root 3 \of {3{x^3} + 4} } {x^2}dx = {1 \over 3}\int\limits_{\root 3 \of 7 }^{\root 3 \of {28} } {{t^3}dt} \cr & = {1 \over {12}}{t^4}\left| {\matrix{{\root 3 \of {28} } \cr {\root 3 \of 7 } \cr} } \right. = {{7\root 3 \of 7 (4\root 3 \of 4 - 1)} \over {12}} \cr} \)
e)
\(\eqalign{
& \int\limits_{ - 2}^2 {(x - 2)|x|dx} \cr
& = \int\limits_{ - 2}^0 {(2x - {x^2})dx + \int\limits_0^2 {({x^2} - 2x)dx} } \cr
& = - {{20} \over 3} - {4 \over 3} = - 8 \cr} \)
g)
\(\eqalign{& \int\limits_1^0 {x\cos xdx = x\sin x\left| {\matrix{0 \cr 1 \cr} } \right.} - \int\limits_1^0 {\sin xdx} \cr & = - \sin 1 + \cos x\left| {\matrix{0 \cr 1 \cr} } \right. = 1 - (\sin 1 + \cos 1) \cr} \)
h) Ta có:
\(\eqalign{
& 1 + \sin 2x + \cos 2x \cr
& = 1 + 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x - 1 \cr
& = 2\cos x(\sin x + \cos x) \cr} \)
Từ đó, ta có đáp số là 1.
i) Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần hai lần, cả hai lần đều đặt \({e^x}dx = dv \Rightarrow v = {e^x}\) . Ta có:
\(\eqalign{& I = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{e^x}\sin xdx} = {e^x}\sin x\left| {\matrix{{{\pi \over 2}} \cr 0 \cr} } \right. - \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{e^x}\cos xdx} \cr & = {e^{{\pi \over 2}}} - \left[ {{e^x}\cos x\left| {\matrix{{{\pi \over 2}} \cr 0 \cr} + \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{e^x}\sin xdx} } \right.} \right] \cr & = {e^{{\pi \over 2}}} + 1 - I \cr & \Rightarrow I = {{{e^{{\pi \over 2}}} + 1} \over 2} \cr} \)
k) Lấy tích phân theo phương pháp tính tích phân từng phầ;n hai lần: lần thứ nhất đặt \(u = {\ln ^2}x\) , lần thứ hai đặt \(u = \ln x\) và có đáp số là \({1 \over {27}}(5{e^3} - 2)\).
