a) Vì 1 = 50 nên ta có \({5^{\cos (3x + {\pi \over 6})}} = 1 \Leftrightarrow 6 \cos (3x + {\pi \over 6}) = 0\)
\(\Leftrightarrow 3x + {\pi \over 6} = {\pi \over 2} + k\pi \Rightarrow x = {\pi \over 9} + k{\pi \over 3}(k \in Z)\)
b) \({6.4^x} - {13.6^x} + {6.9^x} = 0\) (1)
Vì \({4^x},{6^x},{9^x}\) đều khác 0 với mọi \(x \in R\) nên chia cả hai vế của phương trình (1) cho \({4^x}\) hoặc \({6^x}\) hoặc \({9^x}\) , ta được phương trình tương đương.
Chia cả hai vế cho \({6^x}\), ta có: \((1) \Leftrightarrow 6.{({2 \over 3})^x} - 13 + 6.{({3 \over 2})^x} = 0\)
Đặt\({({2 \over 3})^x} = t(t > 0)\) , ta có:
\(6t - 13 + {6 \over t} = 0 \Leftrightarrow 6{t^2} - 13t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = {3 \over 2}} \cr {t = {2 \over 3}} \cr} } \right.\)
+) Với \(t = {2 \over 3}\) ta có \({({2 \over 3})^x} = {2 \over 3} \Leftrightarrow x = 1\)
+) Với \(t = {3 \over 2}\) ta có \({({2 \over 3})^x} = {3 \over 2} \Leftrightarrow x = - 1\)
c) Logarit hóa hai vế theo cơ số 7, ta được:
\({x^2} + 2x.{\log _7}5 - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {{\log }_7}5 - \sqrt {\log _7^25 + 1} } \cr {x = - {{\log }_7}5 + \sqrt {\log _7^25 + 1} } \cr} } \right.\)
d) \({\log _4}(x + 2).{\log _x}2 = 1\)
Điều kiện: \(\left\{ \matrix{x + 2 > 0 \hfill \cr x > 0 \hfill \cr x \ne 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x > 0 \hfill \cr x \ne 1 \hfill \cr} \right.\)
\(1) \Leftrightarrow{1 \over 2}{\log _2}(x + 2).{1 \over {{{\log }_2}x}} = 1 \Leftrightarrow {\log _2}(x + 2) = {\log _2}{x^2}\)
\(\Leftrightarrow{x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - 1(loại)} \cr {x = 2} \cr} } \right.\)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.
e) Điều kiện: x > 0
Đổi sang cơ số 3 và đặt \({\log _3}x = t\) , ta được phương trình: \({t \over {1 + t}} = {{2(2 + t)} \over {3(3 + t)}}\)
Giải phương trình ẩn t, ta được \({t_1} = 1,{t_2} = - 4\)
Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 3;{x_2} = {1 \over {81}}\)
g) Điều kiện:
\(\left\{ {\matrix{{x > 0} \cr {2x - 2 > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow x > 1\)
Đặt \({\log _3}x + {\log _4}(2x - 2) = f(x)\)
Dễ thấy f(x) là hàm số đồng biến. Mặt khác f(3) = 2 nên ta có:
f(x) > f(3) = 2 với x > 3 và f(x) < f(3) = 2 với 1 < x < 3.
Từ đó suy ra x = 3 là nghiệm duy nhất.
