Ôn tập cuối năm Giải tích 12

a) Xác định a, b, c, d để đồ thị của các hàm số:

y = x² + ax + b     và   y = cx + d

cùng đi qua hai điểm M(1; 1) và B(3; 3).

b) Vẽ đồ thị của các hàm số ứng với các giá trị a, b, c và d tìm được trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong trên.

c) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng trên quay quanh trục hoành.

 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: \(y = {{ - x + 2} \over {x + 2}}\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết nó vuông góc với đường thẳng

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : \(y = {{4x - 5} \over {x - 1}}\)

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiếp tuyến của (C) tại A(2; 3) và đường thẳng x = 4.

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = {{5x + 3} \over { - x + 2}}\)      b)  \(y = {{ - 6x + 2} \over {x - 1}}\)             

c) \(y = {{2{x^2} + 8x - 9} \over {3{x^2} + x - 4}}\)    d) \(y = {{x + 2} \over { - 2x + 5}}\)

Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y =  - {x^3} - 6{x^2} + 15x + 1\)

b) \(y = {x^2}\sqrt {{x^2} + 2} \)

c) \(y = x + \ln (x + 1)\)

d) \(y = x - 1 + {1 \over {x + 1}}\)

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \({e^x} + \cos x \ge 2 + x - {{{x^2}} \over 2},\forall x \in R\)

b) \({e^x} - {e^{ - x}} \ge 2\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} ),\forall x \ge 0\)

c) \(8{\sin ^2}{x \over 2} + \sin 2x > 2x,\forall x \in (0;\pi {\rm{]}}\)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau trên các khoảng, đoạn tương ứng:

a) g(x) = |x³ + 3x² – 72x + 90| trên đoạn [-5; 5]

b) f(x) = x⁴ – 4x² + 1 trên đoạn [-1; 2]

c) f(x) = x – ln x + 3 trên khoảng \((0; + \infty )\)

Cho hàm số    \(y = {1 \over 3}{x^3} - (m - 1){x^2} + (m - 3)x + 4{1 \over 2}\)      (m là tham số)                (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.

b) Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(A(0;4{1 \over 2})\)

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = 2.

d) Xác định m để đồ thị của (1) cắt đường thẳng \(y =  - 3x + 4{1 \over 2}\) tại ba điểm phân biệt.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = {{4x + 4} \over {2x + 1}}\)

b) Từ (C) suy ra đồ thị của hàm số  \(y = |{{4x + 4} \over {2x + 1}}|\)

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(y =  - {1 \over 4}x - 3\)

Cho hàm số     \(y = {{(2 + m)x + m - 1} \over {x + 1}}\)              (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.

b) Xác định các điểm có tọa độ nguyên trên đồ thị của (1) khi \(m \in Z\).

Cho a, b, x là những số dương. Đơn giản các biểu thức sau:

a) \(A = {{\rm{[}}{{2a + {{(ab)}^{{1 \over 2}}}} \over {3a}}{\rm{]}}^{ - 1}}{\rm{[}}{{{a^{{3 \over 2}}} - {b^{{3 \over 2}}}} \over {a - {{(ab)}^{{1 \over 2}}}}} - {{a - b} \over {\sqrt a  + \sqrt b }}{\rm{]}}\)

b)  \(B = {({{\sqrt a  + \sqrt x } \over {\sqrt {a + x} }} - {{\sqrt {a + x} } \over {\sqrt a  + \sqrt x }})^{ - 2}} - {({{\sqrt a  - \sqrt x } \over {\sqrt {a + x} }} - {{\sqrt {a + x} } \over {\sqrt a  - \sqrt x }})^{ - 2}}\)

c) \(C = \sqrt {{{16}^{{1 \over {{{\log }_7}4}}}} + {{81}^{{1 \over {{{\log }_6}9}}}} + 15} \)

d) \(D = {49^{1 - {{\log }_7}2}} + {5^{ - {{\log }_5}4}}\)

Với số a dương và khác 1, giả sử có ba hàm số:

\(s(x) = {{{a^x} - {a^{ - x}}} \over 2};c(x) = {{{a^x} + {a^{ - x}}} \over 2};t(x) = {{{a^x} - {a^{ - x}}} \over {{a^x} + {a^{ - x}}}}\)

Hãy chứng minh rằng:

a) \({c^2}(x) - {s^2}(x) = 1\)                   

b) \(s(2x) = 2s(x)c(x)\)

c)   \(c(2x) = 2{c^2}(x) - 1 = 2{s^2}(x) + 1 = {c^2}(x) + {s^2}(x)\)  

d) \(t(2x) = {{2t(x)} \over {1 + {t^2}(x)}}\)

Hãy biểu diễn:

a) \({\log _{30}}8\)  qua  \(a = {\log _{30}}3\) và \(b = {\log _{30}}5\) ;

b)  \({\log _9}20\) qua \(a = \log 2\)  và  \(b = \log 3\)

Giải các phương trình sau:

a)  \({({{13} \over {24}})^{3x + 7}} = {({{24} \over {13}})^{2x + 3}}\)                                   

b) \({(4 - \sqrt {15} )^{\tan x}} + {(4 + \sqrt {15} )^{\tan x}} = 8\)

c) \({(\root 3 \of {6 + \sqrt {15} } )^x} + {(\root 3 \of {7 - \sqrt {15} } )^x} = 13\)

Giải các phương trình sau:

a)  \({5^{\cos (3x + {\pi  \over 6})}} = 1\)

b) \({6.4^x} - {13.6^x} + {6.9^x} = 0\)

c) \({7^{{x^2}}}{.5^{2x}} = 7\)

d) \({\log _4}(x + 2){\log _x}2 = 1\)

e) \({{{{\log }_3}x} \over {{{\log }_9}3x}} = {{{{\log }_{27}}9x} \over {{{\log }_{81}}27x}}\)          

f) \({\log _3}x + {\log _4}(2x - 2) = 2\)

Giải các bất phương trình sau:

a)  \({({1 \over 2})^{{{\log }_{{1 \over 3}}}({x^2} - 3x + 1)}} < 1\)                             

b)  \(4{x^2} + {3.3^{\sqrt x }} + x{.3^{\sqrt x }} < 2{x^2}{.3^{\sqrt x }} + 2x + 6\)

c)  \({\log _x}4.{\log _2}{{5 - 12x} \over {12x - 8}} \ge 2\)

Giải các bất phương trình sau:

a) \({(0,5)^{{1 \over x}}} \ge 0,0625\)                 

b) \({\log _{0,2}}({x^2} - 4) \ge  - 1\)

c) \({\log _2}{\log _{0,5}}({2^x} - {{15} \over {16}}) \le 2\)       

d) \({\log _3}({16^x} - {2.12^x}) \le 2x + 1\)

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_{ - 2}^4 {{{({{x - 2} \over {x + 3}})}^2}dx} \) (đặt t  = x  +3)    

b) \(\int\limits_{ - 4}^6 {(|x + 3| - |x - 4|)dx} \)

c) \(\int\limits_{ - 3}^2 {{{dx} \over {\sqrt {x + 7}  + 3}}} \)    (đặt \(t = \sqrt {x + 7} \)  hoặc \(t = \sqrt {x + 7}  + 3\) )

d) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos x} \over {1 + 4\sin x}}} dx\)                    

e)\(\int\limits_1^2 {{{{x^9}} \over {{x^{10}} + 4{x^5} + 4}}dx} \)   (đặt t = x⁵)

g) \(\int\limits_0^3 {(x + 2){e^{2x}}dx} \)                                           

h) \(\int\limits_2^5 {{{\sqrt {4 + x} } \over x}dx} \) (đặt \(t = \sqrt {4 + x} \) )

Tính:

a) \(\int\limits_{ - 1}^2 {(5{x^2} - x + {e^{0,5x}})dx} \)     

b) \(\int\limits_{0,5}^2 {(2\sqrt x  - {3 \over {{x^3}}} + \cos x)dx} \)

c) \(\int\limits_1^2 {{{dx} \over {\sqrt {2x + 3} }}} \)   (đặt \(t = \sqrt {2x + 3} \) )     

d) \(\int\limits_1^2 {\root 3 \of {3{x^3} + 4} {x^2}dx} \)  (đặt \(t = \root 3 \of {3{x^3} + 4} \))

e) \(\int\limits_{ - 2}^2 {(x - 2)|x|dx} \)

g) \(\int\limits_1^0 {x\cos xdx} \)                                       

h)\(\int\limits_{{\pi  \over 6}}^{{\pi  \over 2}} {{{1 + \sin 2x + \cos 2x} \over {\sin x + \cos x}}} dx\)

i) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{e^x}\sin xdx} \)                                   

k) \(\int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}xdx} \)