Phương pháp:
\({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\) (\( x ∈\mathbb Q, m,n ∈\mathbb N\))
Quy ước:
\(\eqalign{
& {a^o} = 1\,\,\left( {a \in {\mathbb N^*}} \right) \cr
& {x^o} = 1\,\,\left( {x \in\mathbb Q,\,\,x \ne 0} \right) \cr} \)
Tính chất phân phối: \(ab+ac=a(b+c)\).
Lời giải:
Đặt \(A = {2^{2009}} + {2^{2008}} + ... + {2^1} + {2^0}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}2A = 2.\left( {{2^{2009}} + {2^{2008}} + ... + {2^1} + {2^0}} \right)\\2A = {2^{2010}} + {2^{2009}} + ... + {2^2} + {2^1}\\2A = {2^{2010}} - {2^0} + \left( {{2^{2009}} + ... + {2^2} + {2^1} + {2^0}} \right)\\2A = {2^{2010}} - 1 + A\\ \Rightarrow 2A - A = {2^{2010}} - 1\\ \Rightarrow A = {2^{2010}} - 1\end{array}\)
Do đó \(M = {2^{2010}} - A = {2^{2010}} - ({2^{2010}} - 1) \)\(\,= {2^{2010}} - {2^{2010}} + 1 = 1\).
Bài 5.6
So sánh \({3^{4000}}\) và \({9^{2000}}\) bằng hai cách.
Phương pháp:
\({\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}\) (\( x ∈\mathbb Q, m,n ∈\mathbb N\))
Lời giải:
Cách 1:
\({9^{2000}} = {({3^2})^{2000}} = {3^{4000}}\)
Vậy \({9^{2000}} = {3^{4000}}\).
Cách 2:
\({3^{4000}} = {({3^4})^{1000}} = {81^{1000}}\) (1)
\({9^{2000}} = {({9^2})^{1000}} = {81^{1000}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \({9^{2000}} = {3^{4000}}\).
Bài 5.7
So sánh \({2^{332}}\) và \({3^{223}}\).
Phương pháp:
+) \({\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}\) (\( x ∈\mathbb Q, m,n ∈\mathbb N\))
+) \(m > n \Rightarrow {a^m} > {a^n}\,\left( {a > 1;\,m,n \in N} \right)\)
+) \(a < b \Rightarrow {a^m} < {b^m}\,\left( {a,b > 0;m \in {N^*}} \right)\)
+) \(\left. \begin{array}{l}
a > b\\
b > c
\end{array} \right\} \Rightarrow a > c\)
Lời giải:
Ta có
\({3^{223}} > {\rm{ }}{3^{222}} = {({3^2})^{111}} = {9^{111}}\) (1)
\({2^{332}} < {2^{333}} = {({2^3})^{111}} = {8^{111}}\) (2)
Mà \(8<9\) nên \({8^{111}}< {9^{111}}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({2^{332}} < {\rm{ }}{8^{111}} < {9^{111}} < {3^{223}}\).
Vậy \({2^{332}}<{3^{223}}.\)
