a) Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_2} = 2{u_1} - 1 = 3\\{u_3} = 2{u_2} - 1 = 5\\{u_4} = 2{u_3} - 1 = 9\\{u_5} = 2{u_4} - 1 = 17\end{array}\)
b) Với \(n = 1\), ta có: \(u_1= 2^{1-1}+ 1 = 2\) công thức đúng
Giả sử công thức đúng với mọi \(n = k\ge 1\). Nghĩa là: \({u_k} = {\rm{ }}{2^{k - 1}} + {\rm{ }}1\)
Ta chứng minh công thức cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta phải chứng minh:
\({u^{k + 1}} = {\rm{ }}{2^{\left( {k + 1} \right) - 1}} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^k} + {\rm{ }}1\)
Ta có: \({u_{k + {\rm{ }}1}} = 2{u_k} - 1 = 2({2^{k{\rm{ }} - 1}} + {\rm{ }}1) - 1 \)\(= {2.2^{k{\rm{ }} - 1}} + {\rm{ }}2-1 = {2^k} + 1\) (đpcm)
Vậy \(u_n= 2^{n-1}+ 1\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\).
