Bài 1: Ta có các hệ số: \(a = 1; c = − 2.\) Vì vậy \(a.c = − 2 < 0\) \( \Rightarrow {b^2} - 4ac > 0\), hay \({\left( {{m^2} + m} \right)^2} + 8 > 0,\) với mọi m.
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 2: Phương trình đường thẳng qua điểm \((0; − 2)\) có tung độ gốc bằng \(– 2\) là: \(y = kx – 2\) (d)
Xét phương trình hoành độ giao điểm ( nếu có) của (P ) và (d):
\(2{x^2} = kx - 2 \)\(\;\Leftrightarrow 2{x^2} - kx + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
(P ) và (d) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép
\( \Leftrightarrow \Delta = 0 \Leftrightarrow {k^2} - 16 = 0 \Leftrightarrow k = \pm 4.\)
Phương trình đường thẳng đi qua điểm \((0; − 2)\) và tiếp xúc với (P ) là :
\(y = \pm 4x - 2.\)
Bài 3: Mẫu số : \({x^2} + 1 \ne 0\), với mọi x.
Vậy : \(y = {x \over {{x^2} + 1}} \Leftrightarrow y{x^2} + y = x \)
\(\Leftrightarrow y{x^2} - x + y = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)
Ta xem phương trình (*) là phương trình bậc hai của x, còn y là tham số.
+) Nếu \(y = 0\), phương trình (*) có nghiệm \(x = 0.\)
+) Nếu \(y \ne 0\), phương trình (*) có nghiệm \(\Rightarrow ∆ ≥ 0\)
\(1 - 4{y^2} \ge 0 \Leftrightarrow {y^2} \le {1 \over 4} \)
\(\Leftrightarrow \left| y \right| \le {1 \over 2} \Leftrightarrow - {1 \over 2} \le y \le {1 \over 2}\)
Vậy giá trị lớn nhất của y là \({1 \over 2}\), dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi :
\({1 \over 2}{x^2} - x + {1 \over 2} = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)
