Bài 1:
a) Ta có \(BH \bot AC\) (giả thiết) nên \(\Delta BHA\) vuông tại H có \(\widehat A = {60^o}\) (giả thiết)
\( \Rightarrow \widehat {ABH} = {90^o} - {60^o} = {30^o}\).
b) \(\left\{ \matrix{ d//AC\, (gt) \hfill \cr BH \bot AC\,(gt) \hfill \cr} \right. \Rightarrow d \bot BH.\)
c) Ta có \(\widehat {ABH} + \widehat {HBC} = \widehat {ABC} = {90^o}\)(giả thiết) (1)
lại có \(d \bot BH\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow \widehat {CBx} + \widehat {HBC} = {90^o}\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {CBx} = \widehat {ABH} = {30^o}\).
Bài 2:
a) Ta có \(\widehat {ABM} + \widehat {ABC} = {180^o}\) (kề bù).
\( \Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {ACN}\).Tương tự \(\widehat {ACN} + \widehat {ACB} = {180^o}\) mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (giả thiết).
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACN\) có: AB = AC (giả thiết)
\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (chứng minh trên), BM = CN (giả thiết)
Do đó \(\Delta ABM = \Delta ACN\)(c.g.c) \( \Rightarrow AM = AN\) (cạnh tương ứng)
Vậy \(\Delta AMN\) cân tại A.
b) Ta có \(\Delta BHM\) và \(\Delta CKN\) vuông (giả thiết) có \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM}\) (chứng minh trên) và BM = CN (giả thiết).
Do đó \(\Delta BHM = \Delta CKN\)(g.c.g) \( \Rightarrow BH = CK\) (cạnh tương ứng).
c) Ta có \(\Delta BHM = \Delta CKN\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) (góc tương ứng) mà \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\)(đối đỉnh).
Tương tự \( \Rightarrow AO\) \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) \( \Rightarrow \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\). Chứng tỏ \(\Delta OBC\) cân.
d) D là trung điểm của BC (giả thiết) \( \Rightarrow DB = DC\). Do đó \(\Delta ADB = \Delta ADC\) (c.c.c) \( \Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat {DAC}\) hay AD là tia phân giác của góc \(\widehat {BAC}\).
Chứng minh tương tự ta có \(\Delta ABO = \Delta CAO\)(c.c.c) \( \Rightarrow AO\) là phân giác của góc \(\widehat {BAC}\).
Vậy ba điểm A, D, O thẳng hàng.
