Bài 1.
a) Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta DBM\) có:
MA = MD (giả thiết)
\(\widehat {AME} = \widehat {DMB}\)(đối đỉnh)
ME = MB (giả thiết)
Do đó \(\Delta AEM\)= \(\Delta DBM\)(c.g.c)
\( \Rightarrow AE = DB.\)
b) Chứng minh tương tự câu a ta có:
\(\Delta AFM = \Delta DCM\)(c.g.c)
\( \Rightarrow \widehat {FAM} = \widehat {CDM}\)(góc tương ứng)
\( \Rightarrow AF//BC\) (1) (cặp góc so le trong bằng nhau).
c) Ta có \(\Delta AEM = \Delta DBM\)(chứng minh trên)
\( \Rightarrow \widehat {AEM} = \widehat {DBM} \Rightarrow AE//BC\) (2).
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AE\) và AF trùng nhau (tiên đề Oclit) hay A, E, F thẳng hàng.
Bài 2.
a) M là trung điểm của BC (giả thiết) \( \Rightarrow MB = MC.\)
Dễ thấy \(\Delta AMB = \Delta AMC\) (c.c.c)
b) \(\Delta AMB = \Delta AMC\)(chứng minh trên) \( \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) mà \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = {180^o}\) (kề bù) \( \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {AMC} = {90^o}\) hay \(AM \bot BC.\)
c) Xét \(\Delta EBC\) và \(\Delta FCB\) có:
+) BC chung
+) \(\widehat {EBC} = \widehat {FCB}\) (giả thiết)
+) \(BE = CF\) (giả thiết).
Do đó \(\Delta EBC = \Delta FCB\)(c.g.c)
d) Ta có:
\(AB = AC\) (giả thiết)
\(BE = CF\) (giả thiết)
\( \Rightarrow AB - BE = AC - CF\) hay \(AE = CF.\)
Do đó \(\Delta AEF\) cân tại A \( \Rightarrow \widehat {AEF} = \widehat {AFE} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat A} }{ 2}.\)
Tương tự ta có \(\Delta ABC\) cân tại A (giả thiết)
\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat A}}{2}.\)
Vậy \(\widehat {AFE} = \widehat {ABC} \Rightarrow EF//BC\) (cặp góc đồng vị bằng nhau).
