Bài 1. Ta có \({\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^3} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}\)\(\,\left( {M{N^2} + M{P^2} = N{P^2}} \right)\)
Theo định lí Pytago đảo ta có \(\Delta MNP\) vuông tại M.
\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \dfrac{{{{180}^o} - {{100}^o}}}{ 2} \)\(\,= {40^o}\)
Bài 2.
a) \(\Delta ABC\) cân tại A có \(\widehat A = {100^o}\)
\(Bx \bot AB\) (giả thiết) \( \Rightarrow \widehat {ABx} = {90^o}\)
\( \Rightarrow \widehat {CBx} = {90^o} - \widehat {ABC} = {90^o} - {40^o} \)\(\;= {50^o}\)
Tương tự ta có \(\widehat {CBy} = {50^o}\)
Do đó \(\widehat {BMC} = {180^o} - \left( {\widehat {CBx} + \widehat {BCy}} \right)\)
\( = {180^o} - {100^o} = {80^o}.\)
b) Ta có \(\widehat {BCy} = \widehat {BCx} = {50^o}\) nên \(\Delta BMC\) cân tại M \( \Rightarrow MB = MC.\)
Lại có AB = AC (giả thiết).
Do đó AM là đường trung trực của BC.
Bài 3.
a) Ta có \(\Delta ABC\) cân tại A có \(\widehat A = {40^o}\)
\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \dfrac {{{{180}^o} - \widehat A}}{ 2} \)\(\;=\dfrac {{{{180}^o} - {{40}^o}} }{ 2} = {70^o}\)
H là trung điểm của BC (giả thiết) \( \Rightarrow HB = HC\), lại có AB = AC (giả thiết). Do đó \(\Delta AHB = \Delta AHC\)(c.c.c).
\( \Rightarrow \widehat {HAB} = \widehat {HAC}\)(góc tương ứng), mà \(\widehat {HAB} + \widehat {HAC} = {180^o}\)(kề bù)
\(\widehat {HAB} = \widehat {HAC} = {90^o}\) hay \(AH \bot BC.\)
b) M thuộc trung trực của đoạn AC nên MA = MC.
Do đó \(\Delta AMC\) cân tại M \( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat {BCA} = {70^o}\).
Lại có \(\Delta AHB = \Delta AHC\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow \widehat {HAB} = \widehat {HAC} = \dfrac{{\widehat {BAC}} }{2} \)\(\;= \dfrac{{{{40}^o}} }{ 2} = {20^o}\)
\(\widehat {MAH} = \widehat {MAC} - \widehat {HAC} \)\(\;= {70^o} - {20^o} = {50^o}.\)
c) Ta có \(\widehat {NAC} + \widehat {MAC} = {180^o}\) (kề bù)
\( \Rightarrow \widehat {NAC} = {180^o} - \widehat {MAC}\)\(\; = {180^o} - {70^o} = {110^o}.\)
Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta CAN\) có: AB = AC (giả thiết)
Chứng minh tương tự ta có \(\widehat {MBA} = {110^o}\) (vì \(\widehat {ABC} = {70^o}\))
\(\widehat {ABM} = \widehat {CAN} = {110^o}\) (chứng minh trên)
MB = NA (giả thiết).
Do đó \(\Delta ABM = \Delta CAN\) (c.g.c)
\( \Rightarrow AM = CN\) (cạnh tương ứng).
d) Ta có MA = MC (chứng minh trên) \( \Rightarrow MC = NC.\)
Xét \(\Delta MIC\) và \(\Delta NIC\) có:
+) \(\widehat {MIC} = \widehat {NIC} = {90^o}\) (giả thiết),
+) MC = NC (chứng minh trên),
+) IC chung.
Vậy \(\Delta MIC\)= \(\Delta NIC\) (ch.cgv)
\( \Rightarrow MI = NI\) hay I là trung điểm của MN.
