Bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12

Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4} - {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}1\) ;

b) \( y = \sin 2x – x\);

c) \(y = \sin x + \cos x\);

d) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5}-{\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\).

Lời giải

a) TXĐ: D = R.

\(y'{\rm{ }} = 4{x^3}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}4x({x^2} - {\rm{ }}1)\) ;

\(y' = 0\) \(⇔ 4x(x^2- 1) = 0\) \( ⇔ x = 0, x = \pm 1\).

\( y'' = 12x^2-4\).

\(y''(0) = -4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\),

\(y\)_CĐ= \( y(0) = 1\).

\(y''(\pm 1) = 8 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \pm1\),

\(y\)_CT= \(y(\pm1)\) = 0.

b) TXĐ: D = R.

\(y' = 2\cos 2x - 1\) ;\(y'=0\Leftrightarrow \cos 2x=\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow 2x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi\)

\(\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{6}+k\pi .\)

\(y'' = -4\sin 2x\).

\(y''\left ( \dfrac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4\sin \left ( \dfrac{\pi }{3} +k2\pi \right )\) \(=-2\sqrt{3}<0\) nên hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = \dfrac{\pi }{6}+ kπ\),

\(y\)_CĐ= \( \sin (\dfrac{\pi }{3}+ k2π) - \dfrac{\pi }{6} - kπ\) = \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\pi }{6}- kπ\) , \(k ∈\mathbb Z\).

\(y''\left ( -\dfrac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4\sin \left (- \dfrac{\pi }{3} +k2\pi \right )=2\sqrt{3}>0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x =-\dfrac{\pi }{6}+ kπ\),

\(y\)_CT= \(\sin (-\dfrac{\pi }{3}+ k2π) + \dfrac{\pi }{6} - kπ\) =\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\pi }{6} - kπ\) , \(k ∈\mathbb Z\).

c) TXĐ: D = R.

\(y = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin \left (x+\dfrac{\pi }{4} \right )\);

\( y' =\sqrt{2}\cos \left (x+\dfrac{\pi }{4} \right )\) ;

\(y'=0\Leftrightarrow \cos \left (x+\dfrac{\pi }{4} \right )=0\Leftrightarrow\)\(x+\dfrac{\pi }{4} =\dfrac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi .\)

\(y''=-\sqrt{2}\sin \left ( x+\dfrac{\pi }{4} \right ).\)

\(y''\left ( \dfrac{\pi }{4} +k\pi \right )=-\sqrt{2}\sin \left ( \dfrac{\pi }{4}+k\pi +\dfrac{\pi }{4} \right )\)

\(=-\sqrt{2}\sin \left ( \dfrac{\pi }{2} +k\pi \right )\)

\(=\left\{ \matrix{
- \sqrt 2 \text{ nếu k chẵn} \hfill \cr
\sqrt 2 \text{ nếu k lẻ} \hfill \cr} \right.\)

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x=\dfrac{\pi }{4}+k2\pi\),

đạt cực tiểu tại các điểm \(x=\dfrac{\pi }{4}+(2k+1)\pi (k\in \mathbb{Z}).\)

d) TXĐ: D = R.

\(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}5{x^4} - {\rm{ }}3{x^2} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}({x^2} - {\rm{ }}1)(5{x^2} + {\rm{ }}2)\); \(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {x^{2}} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = \pm 1\).

\(y''{\rm{ }} = {\rm{ }}20{x^{3}} - {\rm{ }}6x\).

\(y''(1) = 14 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\),

\(y\)_CT= \( y(1) = -1\).

\(y''(-1) = -14 < 0\) hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\),

\(y\)_CĐ= \(y(-1) = 3\).

Bài Tập và lời giải

Bài 5.1 trang 16 SBT Vật lí 8

Đề bài

Cặp lực nào sau đây tác dụng lên một vật làm vật đang đứng yên, tiếp tục đứng yên?

A. Hai lực cùng cường độ, cùng phương.

B. Hai lực cùng phương, ngược chiều.

C. Hai lực cùng phương, cùng cường độ, cùng chiều.

D. Hai lực cùng cường độ, có phương nằm trên cùng một đường thẳng, ngược chiều.