Bài 5 trang 18 SGK Giải tích 12

Tìm \(a\) và \(b\) để các cực trị của hàm số

\(y=\dfrac{5}{3}a^{2}x^{3}+2ax^{2}-9x+b\)

đều là những số dương và \(x_{0}=-\dfrac{5}{9}\) là điểm cực đại.

Lời giải

Ta có: \(y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9\), \(y'' = 10{a^2}x + 4a\).

Hàm số đã cho đạt cực đại tại \({x_0} =  - \dfrac{5}{9}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) = 0\\y''\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{a^2}.{\left( { - \dfrac{5}{9}} \right)^2} + 4a.\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) - 9 = 0\\10{a^2}.\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) + 4a < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{125{a^2}}}{{81}} - \dfrac{{20a}}{9} - 9 = 0\\ - \dfrac{{50{a^2}}}{9} + 4a < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{81}}{{25}},a =  - \dfrac{9}{5}\\a < 0,a > \dfrac{{18}}{{25}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{81}}{{25}}\\a =  - \dfrac{9}{5}\end{array} \right.\)

Ta có: \(y' = 5{a^2}{x^2} + 4ax - 9\) có \(\Delta ' = 49{a^2} > 0\) với \(a \ne 0\) nên phương trình \(y' = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt\({x_1} = \dfrac{1}{a},{x_2} =  - \dfrac{9}{{5a}}\).

Hàm số đã cho có các cực trị đều dương \( \Leftrightarrow {y_{CT}} > 0\).

Với \(a = \dfrac{{81}}{{25}}\) thì \({x_1} = \dfrac{{25}}{{81}},{x_2} =  - \dfrac{5}{9}\).

Do đó \({y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)\) \( = \dfrac{5}{3}.{\left( {\dfrac{{81}}{{25}}} \right)^2}.{\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)^3} + 2.\dfrac{{81}}{{25}}.{\left( {\dfrac{{25}}{{81}}} \right)^2} - 9.\dfrac{{25}}{{81}} + b > 0\)\( \Leftrightarrow b > \dfrac{{400}}{{243}}\)

Với \(a =  - \dfrac{9}{5}\) thì \({x_1} =  - \dfrac{5}{9},{x_2} = 1\).

Do đó \({y_{CT}} = y\left( 1 \right)\) \( = \dfrac{5}{3}.{\left( { - \dfrac{9}{5}} \right)^2}{.1^3} + 2.\left( { - \dfrac{9}{5}} \right){.1^2} - 9.1 + b > 0\) \( \Leftrightarrow b > \dfrac{{36}}{5}\).

Vậy các giá trị \(a, b\) cần tìm là: \(\left\{\begin{matrix} a=-\dfrac{9}{5} & \\ b>\dfrac{36}{5} & \end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{matrix} a=\dfrac{81}{25} & \\ b>\dfrac{400}{243} & \end{matrix}\right.\).


Bài Tập và lời giải

Bài 8.1 trang 26 SBT Vật lí 8

Đề bài

Bốn bình A, B, C, D cùng đựng nước (H.8.1)

a) Áp suất của nước lên đáy bình nào là lớn nhất ?

A. Bình A                             B. Bình B

C. Bình C                             D. Bình D

b) Áp suất của nước lên đáy bình nào là nhỏ nhất ? 

A. Bình A                             B. Bình B

C. Bình C                             D. Bình D

Xem lời giải

Bài 8.2 trang 26 SBT Vật lí 8

Đề bài

Hai bình A, B thông nhau. Bình A đựng dầu, bình B đựng nước tới cùng một độ cao (H.8.2). Khi mở khóa K, nước và dầu có chảy từ bình nọ sang bình kia không? 

A. Không, vì độ cao của cột chất lỏng ở hai bình bằng nhau.

B. Dầu chảy sang nước vì lượng dầu nhiều hơn.

C. Dầu chảy sang nước vì dầu nhẹ hơn.

D. Nước chảy sang dầu vì áp suất cột nước lớn hơn áp suất cột dầu do trọng lượng riêng của nước lớn hơn của dầu.

Xem lời giải

Bài 8.3 trang 26 SBT Vật lí 8
Hãy so sánh áp suất tại \(5\) điểm A, B, C, D, E trong một bình đựng chất lỏng vẽ ở hình 8.3.

Xem lời giải

Bài 8.4 trang 26 SBT Vật lí 8

Đề bài

Một tàu ngầm đang di chuyển ở dưới biển. Áp kế đặt ở ngoài vỏ tàu chỉ áp suất \(2,02.{10^6} N/m^2\). Một lúc sau áp kế chỉ \(0,86.{10^6} N/m^2\).

a) Tàu đã nổi lên hay đã lặn xuống? Vì sao khẳng định được như vậy ?

b) Tính độ sâu của tàu ngầm ở hai thời điểm trên. Cho biết trọng lượng riêng của nước biển bằng \(10300 N/m^3\)

Xem lời giải

Bài 8.5 trang 27 SBT Vật lí 8

Đề bài

Một cái bình có lỗ nhỏ O ở thành bên và đáy là một pittông A (H.8.4). Người ta đổ nước tới miệng bình. Có một tia nước phun ra từ O.

a) Khi mực nước hạ dần từ miệng bình đến điểm O thì hình dạng của tia nước thay đổi như thế nào?

b) Người ta kéo pittông tới vị trí A’ rồi lại đổ nước cho tới miệng bình. Tia nước phun từ O có gì thay đổi không? Vì sao?

Xem lời giải

Bài 8.6 trang 27 SBT Vật lí 8

Đề bài

Một bình thông nhau chứa nước biển. Người ta đổ thêm xăng và: một nhánh. Hai mặt thoáng ở hai nhánh chênh lệch nhau \(18mm\). Tính độ cao của cột xăng. Cho biết trọng lượng riêng của nước biển là \(10300N/m^3\) và của xăng là \(7000N/m^3\).

Xem lời giải

Bài 8.7 trang 27 SBT Vật lí 8

Đề bài

Hãy so sánh áp suất tại các điểm \(M\), \(N\) và \(Q\), trong bình chứa chất lỏng vẽ ở hình 8.5.

A. \(p_M < p_N < p_Q\)     

B. \(p_M = p_N = p_Q\)

C. \(p_M > p_N > p_Q\)

D. \(p_M < p_Q < p_N\) 

Xem lời giải

Bài 8.8 trang 27 SBT Vật lí 8

Đề bài

Câu nào sau đây nói về áp suất chất lỏng là đúng?

A. Chất lỏng chỉ gây áp suất theo phương thẳng đứng từ trên xuống.

B. Áp suất chất lỏng chỉ phụ thuộc vào bản chất của chất lỏng.

C. Chất lỏng gây áp suất theo mọi phương.

D. Áp suất chất lỏng chỉ phụ thuộc vào chiều cao của chất lỏng.

Xem lời giải

Bài 8.9 trang 27 SBT Vật lí 8

Đề bài

Hình 8.6 vẽ mặt cắt của một con đê chắn nước, cho thấy mặt đê bao giờ cũng hẹp hơn chân đê. Đê được cấu tạo như thế nhằm để:

A. tiết kiệm đất đắp đê

B. làm thành mặt phăng nghiêng, tạo điều kiện thuận lợi cho người muốn đi lên mặt đê

C. có thể trồng cỏ trên đê, giữ cho đê khỏi bị lở

D. chân đê có thể chịu được áp suất lớn hơn nhiều so với mặt đê

Xem lời giải

Bài 8.10 trang 28 SBT Vật lí 8

Một ống thủy tinh hình trụ đựng chất lỏng đang được đặt thẳng đứng. Nếu nghiêng ống đi sao cho chất lỏng không chảy ra khỏi ống, thì áp suất chất lỏng gây ra ở đáy bình 

A. tăng                B. giảm             C. không đổi                      D. bằng không.

Xem lời giải

Bài 8.11 trang 28 SBT Vật lí 8

Hai bình có tiết diện bằng nhau. Bình thứ nhất chứa chất lỏng có trọng lượng riêng \(d_1\), chiều cao \(h_1\); bình thứ hai chứa chất lỏng có trọng lượng riêng \(d_2= 1,5d_1\), chiều cao \(h_2 = 0,6h_1\). Nếu gọi áp suất chất lỏng tác dụng lên đáy bình \(1\) là \(p_1\), lên đáy bình bình \(2\) là \(p_2\) thì

:A. \(p_2 = 3p_1\)              B. \(p_2 = 0,9p_1\)  C. \(p_2 = 9p_1\)                      D. \(p_2 = 0,4p_1\)  

Xem lời giải

Bài 8.12 trang 28 SBT Vật lí 8
Tại sao khi lặn ta luôn cảm thấy tức ngực và càng lặn sâu thì cảm giác tức ngực càng tăng?

Xem lời giải

Bài 8.13 trang 28 SBT Vật lí 8
Trong bình thông nhau vẽ ở hình 8.7, nhánh lớn có tiết diện lớn gấp đôi nhánh nhỏ. Khi chưa mở khóa \(T\), chiều cao của cột nước ở nhánh lớn là \(30cm\).Tìm chiều cao cột nước ở \(2\) nhánh sau khi đã mở khóa \(T\) và khi nước đă đứng yên. Bỏ qua thế tích của ông nối hai nhánh.

Xem lời giải

Bài 8.14 trang 28 SBT Vật lí 8
Hình 8.7 SGK (tr.31) mô tả nguyên tắc hoạt động của một máy nâng dùng chất lỏng. Muốn có một lực nâng là \(20 000N\) tác dụng lên pit-tông lớn, thì phải tác dụng lên pit-tông nhỏ một lực bằng bao nhiêu?Biết pit-tông lớn có diện tích lớn gấp \(100\) lần pit-tông nhỏ và chất lỏng có thể truyền nguyên vẹn áp suất từ pit-tông nhỏ sang pit-tông lớn.

Xem lời giải

Bài 8.15 trang 28 SBT Vật lí 8

Đề bài

Một ống thủy tinh được bịt kín một đầu bằng một màng cao su mỏng. Nhúng ống thủy tinh vào một chậu nước (H.8.8). Màng cao su có hình dạng như thế nào trong các trường hợp sau đây ?

a) Khi chưa đổ nước vào ống thủy tinh.

b) Khi đổ nước vào ống sao cho mực nước trong ống bằng mực nước ngoài ống.        

c) Khi đổ nước vào ống sao cho mực nước trong ống thấp hơn mực nước ngoài ống.

d) Khi đổ nước vào ống sao cho mực nước trong ống cao hơn mực nước ngoài ống

Xem lời giải

Bài 8.16 trang 29 SBT Vật lí 8
Một chiếc tàu bị thủng một lỗ ở độ sâu \(2,8m\). Người ta đặt một miếng vá áp vào lỗ thủng từ phía trong. Hỏi cần một lực tối thiểu bằng bao nhiêu để giữ miếng vá nếu lỗ thủng rộng \(150 c{m^2}\) và trọng lượng riêng của nước là \(10000N/m^3\)

Xem lời giải

Bài 8.17 trang 29 SBT Vật lí 8

Đề bài

Chuyện vui về thí nghiệm thùng tô-nô của Pa-xcan.

Vào thế kỉ thứ XVII, nhà bác học người Pháp Pa-xcan đã thực hiện một thí nghiệm rất lí thú, gọi là thí nghiệm thùng tô-nô của Pa-xcan (H.8.9).            

Ở mặt trên của một thùng tô-nô bằng gỗ đựng đầy nước, ông gắn một ống nhỏ, cao nhiều mét. Sau đó ông trèo lên ban công tầng trên và đổ vào ống nhỏ một chai nước đầy

Hiện tượng kì lạ xảy ra: chiếc thùng tô - nô băng gỗ vỡ tung và nước bắn ra tứ phía

Các em hãy dựa vào hình bên để tính toán và giải thích thí nghiệm: của Pa-xcan.

Gợi ý: Có thể so sánh áp suất tác dụng vào điểm \(O\) ở giữa thùng, khi chỉ có thùng tô-nô chứa đầy nước và khi cả thùng và ống đều chứa đầy nước.

Xem lời giải