a) TXĐ: \(D = {\mathbb{R}}\)
\(f'\left( x \right) = {{{x^2} + 1 - 2{x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = {{1 - {x^2}} \over {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1\,\,\,\,\,\,f\left( 1 \right) = {1 \over 2} \hfill \cr x = - 1\,\,\,f\left( { - 1} \right) = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x=-1\), giá trị cực tiểu \(f\left( { - 1} \right) = - {1 \over 2}\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=1\), giá trị cực đại \(f\left( 1 \right) = {1 \over 2}\).
b) TXĐ: \(D = {\mathbb {R}}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
\(\eqalign{
& f'\left( x \right) = {{3{x^2}\left( {x + 1} \right) - {x^3}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {{2{x^3} + 3{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \cr
& f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {2x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr
& f\left( { - {3 \over 2}} \right) = {{27} \over 4} \cr} \)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = - {3 \over 2}\), giá trị cực tiểu \(f\left( { - {3 \over 2}} \right) = {{27} \over 4}\).
c) TXĐ: \(D = \left[ { - \sqrt 5 ;\sqrt 5 } \right]\)
\(f'\left( x \right) = {{ - 2x} \over {2\sqrt {5 - {x^2}} }} = {{ - x} \over {\sqrt {5 - {x^2}} }};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;f\left( 0 \right) = \sqrt 5 \)
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), giá trị cực đại \(f\left( 0 \right) = \sqrt 5 \).
d) \(f\left( x \right)\) xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 1 \ge 0\) \( \Leftrightarrow x \le - 1\)hoặc \(x \ge 1\).
TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
\(f'\left( x \right) = 1 + {x \over {\sqrt {{x^2} - 1} }} = {{\sqrt {{x^2} - 1} + x} \over {\sqrt {{x^2} - 1} }}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = - x \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le 0 \hfill \cr {x^2} - 1 = {x^2} \hfill \cr} \right.\) vô nghiệm
\(f'\left( { - 2} \right) < 0 \Rightarrow f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x < - 1\)
\(f'\left( { - 2} \right) > 0 \Rightarrow f'\left( x \right) > 2\) với mọi \(x > 1\)
Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right]\) và đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).
Hàm số không có cực trị.
