a) Năm số hạng đầu là \(1,2,4,7,11.\)
b) Từ công thức xác định dãy số ta có
\({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1\) hay \({u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 1.{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Vì \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) nên từ (1), ta có
\({v_n} = {v_{n - 1}} + 1\) với \(n \ge 2.{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng với \({v_1} = {u_2} - {u_1} = 1,\) công sai \(d = 1.\)
c) Để tính \({u_n},\) ta viết
\(\begin{array}{l}{v_1} = 1\\{v_2} = {u_3} - {u_2}\\{v_3} = {u_4} - {u_3}\\...\\{v_{n - 2}} = {u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}\\{v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}}\end{array}\)
Cộng từng vế \(n - 1\) hệ thức trên và rút gọn, ta được
\({v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}}\)\( = 1 - {u_2} + {u_n} = 1 - 2 + {u_n} = {u_{n - 1}}\)
Suy ra \({u_n} = 1 + {v_1} + {v_2} + ... + {v_{n - 1}}\) \( = 1 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.\)
