a) Với \(a = 1,\) ta có \({S_n} = 1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}.\)
Giả sử \(a \ne 1.\) Nhân hai vế của hệ thức \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}\) với \(a\) ta được:
\(a.{S_n} = a + 2{a^2} + 3{a^3} + ... + n{a^n}\)
\( \Rightarrow {S_n} - a.{S_n} = 1 + a + {a^2} + ... + {a^{n - 1}} - n{a^n}\)
\( \Leftrightarrow \left( {1 - a} \right){S_n} = \dfrac{{{a^n} - 1}}{{a - 1}} - n{a^n}\) \( = \dfrac{{{a^n} - 1 - n\left( {a - 1} \right){a^n}}}{{a - 1}}\) \( = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^n} - 1 - n{a^{n + 1}}}}{{a - 1}}\)
\( \Rightarrow \left( {a - 1} \right){S_n} = \dfrac{{n{a^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right){a^n} + 1}}{{a - 1}}\) \( \Leftrightarrow {S_n} = \dfrac{{n{a^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right){a^n} + 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}.\)
b) Nếu \(x = 0\) thì \(S = 0\)
Nếu \(x \ne 0\), chia cả hai vế của \({S_n}\) cho \(x\) ta được:
\(\dfrac{{{S_n}}}{x} = 1 + 2x + 3{x^3} + ... + n{x^{n - 1}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{S_n}}}{x} - {S_n} = 1 + x + {x^2} + ... + {x^{n - 1}} - n{x^n}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1 - x}}{x}{S_n} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){x^n} - 1 - n{x^{n + 1}}}}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{x}{S_n} = \dfrac{{n{x^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right){x^n} + 1}}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow {S_n} = \dfrac{{n{x^{n + 2}} - n{x^{n + 1}} + x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)
