Xét \(∆AKM\) và \(∆BKC\), có:
\(AK = BK\) (gt)
\(\widehat {AKM} = \widehat {BKC}\) (đối đỉnh)
\(KM = KC\) (gt)
\( \Rightarrow ∆AKM = ∆ BKC\) (c.g.c)
\( \Rightarrow AM = BC\) (hai cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow \widehat {AMK} = \widehat {BCK}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {AMK} \) và \( \widehat {BCK}\) ở vị trí so le trong nên \( AM // BC \).
Xét \(∆AEN\) và \(∆ CEB\), ta có:
\(AE = CE\) (gt)
\(\widehat {A{\rm{E}}N} = \widehat {CEB}\) (đối đỉnh)
\(EN = EB\) (gt)
\(\Rightarrow ∆AEN = ∆ CEB\) (c.g.c)
\(\Rightarrow AN = BC\) (hai cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow\widehat {E{\rm{A}}N} = \widehat {ECB}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {E{\rm{A}}N} \) và \( \widehat {ECB}\) ở vị trí so le trong nên \( AN // BC \).
Ta có: \(AM //BC\) và \(AN // BC\) nên theo tiên đề ơclit hai đường thẳng \(AM\) và \(AN\) trùng nhau hay \(M, A, N\) thẳng hàng (1)
Mặt khác \(AM = AN\) (vì cùng bằng \(BC\)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(A\) là trung điểm của \(MN.\)
