a) Giả sử \( \displaystyle\sqrt 3 \) không phải là số vô tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên \(a\) và \( b\) sao cho \( \displaystyle \displaystyle\sqrt 3 = {a \over b}\) với \(b > 0\). Hai số \(a\) và \( b\) không có ước chung nào khác \(1\) và \(-1\).
Ta có: \( \displaystyle{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {{a \over b}} \right)^2}\) hay \( \displaystyle{a^2} = 3{b^2}\) (1)
Kết quả trên chứng tỏ \(a\) chia hết cho \(3\), nghĩa là ta có \(a = 3c\) với \(c\) là số nguyên.
Thay \(a = 3c\) vào (1) ta được: \( \displaystyle{\left( {3c} \right)^2} = 3{b^2}\) hay \( \displaystyle{b^2} = 3{c^2}\)
Kết quả trên chứng tỏ \(b\) chia hết cho \(3\), trái với giả thiết \(a\) và \(b\) không có ước chung nào khác \(1\) và \(-1\).
Vậy \( \displaystyle\sqrt 3 \) là số vô tỉ.
b) Giả sử \( \displaystyle5\sqrt 2 \) là số hữu tỉ \(a\), nghĩa là tồn tại số số hữu tỉ \(a\) sao cho \( \displaystyle5\sqrt 2 = a.\)
Suy ra: \( \displaystyle\sqrt 2 = {a \over 5}\) hay \( \displaystyle\sqrt 2 \) là số hữu tỉ.
Điều này vô lí vì \( \displaystyle\sqrt 2 \) là số vô tỉ (theo bài 52 trang 13 SBT toán 9 tập 1)
Vậy \( \displaystyle5\sqrt 2 \) là số vô tỉ.
*Giả sử \( \displaystyle3 + \sqrt 2 \) là số hữu tỉ \(b\), nghĩa là tồn tại một số hữu tỉ \(b\) mà:
\( \displaystyle3 + \sqrt 2 = b\)
Suy ra: \( \displaystyle\sqrt 2 = b - 3\) hay \( \displaystyle\sqrt 2 \) là số hữu tỉ.
Điều này vô lí vì \( \displaystyle\sqrt 2 \) là số vô tỉ.
Vậy \( \displaystyle3 + \sqrt 2 \) là số vô tỉ.
