\(a)\) Trong \((O; R)\) ta có: \(\widehat {AOB}= sđ \overparen{AB}\) (nhỏ)
Trong \((O’; R)\) ta có: \(\widehat {AO'B} = sđ \overparen{AB}\) (nhỏ)
Vì số đo cung \(AB\) nhỏ của \((O; R)\) lớn hơn số đo cung \(AB\) nhỏ của \((O’; R’)\)
Suy ra: \(\widehat {AOB} > \widehat {AO'B}\) \((1)\)
\(\Delta AOO' = \Delta BOO'\) \((c.c.c)\)
\( \Rightarrow \widehat {AOO'} = \widehat {BOO'} =\displaystyle {1 \over 2}\widehat {AOB}\) \((2)\)
\(\widehat {AO'O} = \widehat {BO'O} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {AO'B}\) \( (3)\)
Từ \((1),\) \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(\widehat {AOO'} > \widehat {AO'O}\)
Trong \(\Delta AOO'\) ta có: \(\widehat {AOO'} > \widehat {AO'O}\)
Suy ra: \(O’A > OA\) (bất đẳng thức tam giác) hay \(R’ > R\)
Trường hợp hình thứ \(2,\) ta lấy đối xứng của \((O)\) qua trục \(AB\) ta có kết quả như hình trên.
\(b)\) Trong \((O; R)\) số đo cung lớn \(AB\) cộng với số đo cung nhỏ \(AB\) bằng \(360^o\)
Mà số đo cung lớn \(AB\) của \((O;R)\) nhỏ hơn số đo cung lớn \(AB\) của \((O’; R’)\)
Suy ra số đo cung nhỏ \(AB\) của \((O; R)\) lớn hơn số đo cung nhỏ của \((O’; R’)\)
Chứng minh tương tự câu \(a)\) ta có: \(R > R’.\)
\(c)\) Số đo hai cung nhỏ của \((O; R)\) và \((O’; R’)\) bằng nhau
\( \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {AO'B}\)
Suy ra: \(\widehat {AOO'} = \widehat {AO'O} \Rightarrow \Delta AOO'\) cân tại \(A\) nên \(OA = OA’\) hay \(R = R’.\)
