a) Chứng minh tích \(BD.CE\) không đổi.
Ta có \(\widehat {DOC}\) là góc ngoài của \(∆ BDO\) nên: \(\widehat {DOC} = \widehat B + {\widehat D_1}\)
hay \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = \widehat B + \widehat {{D_1}} \Leftrightarrow {60^0} + \widehat {{O_2}} = {60^0} + \widehat {{D_1}}\)
\(\Leftrightarrow \widehat {{O_2}} = \widehat {{D_1}}\)
Xét hai tam giác: \(∆BOD\) và \(∆CEO\), ta có: \(\widehat B = \widehat C = {60^0}\) (gt) và \(\widehat {{O_2}} = \widehat {{D_1}}\) (cmt)
\(⇒ ∆BOD\) đồng dạng \(∆CEO\) (g.g)
\( \displaystyle \Rightarrow {{B{\rm{D}}} \over {BO}} = {{CO} \over {CE}} \Rightarrow B{\rm{D}}.CE = BO.CO\)
hay \(\displaystyle B{\rm{D}}.CE = {{BC} \over 2}.{{BC} \over 2} = {{B{C^2}} \over 4}\) (không đổi)
Vậy \(\displaystyle B{\rm{D}}.CE = {{B{C^2}} \over 4}\) không đổi
b) Chứng minh \(ΔBOD\) đồng dạng \(ΔOED\)
Từ câu (a) ta có: \(∆BOD\) đồng dạng \(∆CEO\)
\( \displaystyle \Rightarrow {{O{\rm{D}}} \over {OE}} = {{B{\rm{D}}} \over {OC}} = {{B{\rm{D}}} \over {OB}}\) (do \(OC = OB\))
Mà \(\widehat B = \widehat {DOE} = {60^0}\)
Vậy \(ΔBOD\) đồng dạng \(ΔOED\) (c.g.c) \(\Rightarrow \widehat {B{\rm{D}}O} = \widehat {O{\rm{D}}E}\)
hay \(DO\) là tia phân giác của góc \(BDE\)
c) Vẽ \(OK \bot DE\) và gọi \(I\) là tiếp điểm của \((O)\) với \(AB\), khi đó \(OI \bot AB\). Xét hai tam giác vuông: \(IDO\) và \(KDO\), ta có:
\(DO\) chung
\(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\) (do \(DO\) là tia phân giác của góc \(BDE\))
Vậy \(ΔIDO= ΔKDO \, (ch - gn)\)\( ⇒ OI = OK\) (các cạnh tương ứng).
Điều này chứng tỏ rằng \(OK\) là bán kính của \((O)\) và \(OK \bot DE\) nên \(K\) là tiếp điểm của \(DE\) với \((O)\) hay \(DE\) tiếp xúc với đường tròn \((O).\)
