Vì \(AB\) là tiếp tuyến chung của \((O)\) và \((O’)\) nên \(OB \bot AB\) và \(O’A \bot AB\)
Xét hai tam giác vuông \(OPB\) và \(O’AP\), ta có:
\(\widehat A = \widehat B = {90^0}\)
\(\widehat {{P_1}}\) chung
Vậy \(ΔOBP\) đồng dạng \(∆ O’AP\)
\(\eqalign{
& \Rightarrow {r \over R} = {{PO'} \over {PO}} = {{PA} \over {PB}} = {4 \over 8} = {1 \over 2} \cr
& \Rightarrow R = 2{\rm{r}} \cr} \)
Ta có \(PO’ = OO’ = R + r = 3r\) (do \(AO’\) là đường trung bình của \(∆OBP\))
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \(O’AP\)
\(O’P^2 = O’A^2 + AP^2\) hay \({\left( {3r} \right)^2} = {\rm{ }}{r^2} + {\rm{ }}{4^{2}} \Leftrightarrow {\rm{ }}9{r^2} = {\rm{ }}{r^2} + {\rm{ }}16{\rm{ }}\)
\( \Leftrightarrow {\rm{ }}8{\rm{ }}{r^2} = 16{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{r^2} = {\rm{ }}2\)
Diện tích đường tròn \((O’;r)\) là:
\(S = π. r^2 = π.2 = 2π\) (\(cm^2\))
