a) \(\displaystyle y = x^3+ 3x^2+ 1\)
Tập xác định: \(\displaystyle D =\mathbb R\)
* Sự biến thiên:
Ta có: \(\displaystyle y’= 3x^2+ 6x = 3x(x+ 2)\)
\(\displaystyle \begin{array}{l} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right..\end{array}\)
- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\displaystyle (-\infty;-2)\) và \(\displaystyle (0;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \(\displaystyle (-2;0)\)
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(\displaystyle x=-2\); \(\displaystyle y_{CĐ}=5\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(\displaystyle x=0\); \(\displaystyle y_{CT}=1\).
- Giới hạn: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty\), \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)
- Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thị hàm số giao \(\displaystyle Oy\) tại \(\displaystyle (0;1)\)
Đồ thị hàm số nhận \(\displaystyle I(-1;3)\) làm tâm đối xứng.
b) Số nghiệm của phương trình \(\displaystyle {x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}\) chính là số giao điểm của \(\displaystyle (C)\) và đường thẳng \(\displaystyle (d)\): \(\displaystyle y = {m \over 2}\)
Từ đồ thị ta thấy:
- Với \(\displaystyle {m \over 2} < 1 \Leftrightarrow m < 2\) : (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm
- Với \(\displaystyle {m \over 2} = 1 ⇔ m = 2\): (d) tiếp xúc với (C) tại 1 điểm và cắt (C) tạo 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.
- Với \(\displaystyle 1 < {m \over 2} < 5 ⇔ 2<m<10\): (d) cắt (C) tại 3 điểm, phương trình có 3 nghiệm.
- Với \(\displaystyle {m \over 2} = 5 \Leftrightarrow m = 10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc với (C) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.
- Với \(\displaystyle {m \over 2} > 5 \Leftrightarrow m > 10\): (d) cắt (C) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm.
Vậy, nếu \(m < 2\) hoặc \(m > 10\) thì phương trình có \(1\) nghiệm duy nhất.
+ Nếu \(m = 2\) hoặc \(m = 10\) thì phương trình có \(2\) nghiệm phân biệt.
+ Nếu \(2 < m < 10\) thì phương trình có \(3\) nghiệm phân biệt.
c) Ta thấy hàm số có điểm cực đại là \(\displaystyle (-2, 5)\), điểm cực tiểu là \(\displaystyle (0, 1)\).
Đường thẳng đi qua hai điểm này có phương trình là: \(\displaystyle {{y - 1} \over 4} = {x \over { - 2}} \Leftrightarrow y = - 2x + 1.\)
