Bài 8 trang 46 SGK Giải tích 12

Cho hàm số: \(f(x)= x^3– 3mx^2+ 3(2m-1)x + 1\) (\(m\) là tham số).

a) Xác định \(m\) để hàm số đồng biến trên tập xác định.

b) Với giá trị nào của tham số \(m\), hàm số có một cực đại và một cực tiểu.

c) Xác định \(m\) để \(f’’(x)>6x.\)

a) \(y=f(x)= x^3– 3mx^2+ 3(2m-1)x + 1\)

Tập xác định: \(D =\mathbb R\)

\(y’= 3x^2-6mx + 3(2m-1)\\ = 3(x^2– 2mx + 2m – 1)\)

Hàm số đồng biến trên \(D =\mathbb R \) \(⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R\)

\(⇔ x^2– 2mx + 2m - 1≥0, ∀x ∈\mathbb R\)

\(⇔ Δ’  \leq 0 \\  ⇔ m^2– 2m + 1  \leq 0 \\  ⇔ (m-1)^2\le 0 \\ ⇔ m =1.\)

b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu

\(⇔\) phương trình \(y’= 0\) có hai nghiệm phân biệt

\(⇔ \Delta >0 ⇔ (m-1)^2> 0 ⇔ m≠1.\)

c) \(f’’(x) = 6x – 6m > 6x\) \(⇔ -6m > 0 ⇔ m < 0.\)