Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AE = AB\)
Vì \(AB < AC\) nên \(AE < AC\)
Suy ra \(E\) nằm giữa \(A\) và \(C\)
Xét \(∆ABD\) và \(∆AED\) ta có:
+) \(AB = AE\) (theo cách vẽ)
+) \(\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {E{\rm{AD}}}\left( {gt} \right)\)
+) \(AD\) cạnh chung
Do đó: \(∆ABD = ∆AED\) (c.g.c)
Suy ra \(BD = DE\) (2 cạnh tương ứng)
và \( \widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {A{\rm{ED}}}\) (2 góc tương ứng)
Mà: \(\widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {{B_1}} = 180^\circ \) (2 góc kề bù)
\(\widehat {A{\rm{ED}}} + \widehat {{E_1}} = 180^\circ \) (2 góc kề bù)
Suy ra: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{E_1}}\)
Trong \(∆ABC\) ta có \(\widehat {{B_1}}\) là góc ngoài tại đỉnh \(B.\)
\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} > \widehat C\) (tính chất góc ngoài tam giác)
Suy ra: \(\widehat {{E_1}} > \widehat C\)
Trong \(∆DEC\) ta có: \(\widehat {{E_1}} > \widehat C\)
\( \Rightarrow DC > DE\) (cạnh đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)
Suy ra: \(BD < DC.\)
