Bài 1:
a) Ta có : \(a = 1; c = − 7 \Rightarrow ac = − 7 < 0\)\( \Rightarrow b^2- 4ac > 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm khác dấu x1, x2.
b) Ta có : \(x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\)
Theo định lí Vi-ét, ta có: \({x_1} + {x_2} = 5;\,\,\,\,{x_1}{x_2} = - 7\)
Vậy : \(x_1^2 + x_2^2 = {5^2} - 2.\left( { - 7} \right) = 39\)
Tương tự : \({1 \over {x_1^2}} + {1 \over {x_2^2}} = {{x_1^2 + x_2^2} \over {{{\left( {{x_1}{x_2}} \right)}^2}}} = {{39} \over {49}}.\)
Bài 2: a) Đặt \(t = {x^2};t \ge 0.\) Ta có phương trình:
\({t^2} - 3t - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {{\rm{t}} = 5\left( {{\text{nhận}}} \right)} \cr {{\rm{t}} = - 2\left( {{\text{loại}}} \right)} \cr } } \right.\)
Vậy : \({x^2} = 5 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 5 .\)
b) \(\sqrt {2x - 1} = x - 2 \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - 2 \ge 0 \hfill \cr 2x - 1 = {x^2} - 4x + 4 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 2 \hfill \cr {x^2} - 6x + 5 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 2 \hfill \cr \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 5.\)
Bài 3: Phương trình hoành độ giao điểm ( nếu có) của (P) và (d) :
\( - {1 \over 2}{x^2} = 2x + m\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + 4x + 2m = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow ∆’ > 0 \Leftrightarrow 4 – 2m > 0 \Leftrightarrow m < 2.\)
Bài 4: Gọi \(x\) là vận tốc của ô tô lúc đi ( \(x > 0, \;x\) tính bằng km/h), thì vận tốc lúc về sẽ là \(x + 25\) ( km/h).
Thời gian lúc đi là \({{150} \over x}\) ( giờ), thời gian lúc về là \({{150} \over {x + 25}}\)( giờ).
Ta có phương trình:
\({{150} \over x} + {{150} \over {x + 25}} = 5 \)
\(\Rightarrow {x^2} - 35x - 750 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {{\rm{x}} = 50\left( {{\text{nhận}}} \right)} \cr {{\rm{x}} = - 15\left( {{\text{loại}}} \right)} \cr } } \right.\)
Vậy vận tốc của ô tô lúc đi là \(50\) km/h.
