Bài 1. Điều kiện: \(x \ne 0,x \ne 1\) và \(x \ne 3\) .
a) \(A = {{{{\left( {x - 3} \right)}^2} - {x^2} + 9} \over {x\left( {x - 3} \right)}}.{x \over {2\left( {x - 1} \right)}}\)\(\; = {{ - 6x\left( {x - 3} \right)} \over {2x\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = {{ - 3} \over {x - 1}}.\)
b) \(A \in\mathbb Z\) khi \(x - 1\) là ước của 3, với \(x \in\mathbb Z,x \ne 0,x \ne 1,x \ne 3\)
\( \Rightarrow x - 1 = \pm 1;x - 1 = \pm 3\)
Với \(x \in\mathbb Z,x \ne 0;x \ne 1,x \ne 3\)
\(\Rightarrow x = 2;x = 4;x = - 2.\)
Bài 2.
a) Điều kiện: \(x - 1 \ne 0\) và \(x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 1\) (khi đó: \({x^2} - 1 \ne 0\) ).
b) Ta có: \(B = {{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 8 - {{\left( {x - 1} \right)}^2}} \over {{x^2} - 1}}.{{{x^2} - 1} \over 5} \)\(\;= {{{x^2} + 5x + 8} \over 5}.\)
Ta có: \({x^2} + 5x + 8 \)\(\;= {x^2} + 2x.{5 \over 2} + {{25} \over 4} + 8 - {{25} \over 4}\)\(\; = {\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} + {7 \over 4} > 0\) với mọi \(x \ne \pm 1\) , vì \({\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} \ge 0.\)
Bài 3. Biến đổi vế trái (VT), ta có:
\(VT = {{6\left( {x + 6} \right) + {x^2} - 6x} \over {\left( {{x^2} - 6x} \right)\left( {x + 6} \right)}}.{{{x^3} - 36x} \over {{x^2} + 36}} \)\(\;= {{{x^2} + 36} \over {x\left( {{x^2} - 36} \right)}}.{{x\left( {{x^2} - 36} \right)} \over {{x^2} + 36}} = 1\) (đpcm)
