Bài 1.
a) Ta có IB = IC (gt), IO = IE (tính chất đối xứng)
\( \Rightarrow OBEC\) là hình bình hành.
Lại có \(\widehat {BOC} = {90^ \circ }\) (tính chất hai đường chéo hình thoi).
Do đó OBEC là hình chữ nhật.
b) Ta có OC = OA (tính chất đường chéo hình thoi)
Mà OC = BE và \(OC\parallel BE\left( {cmt} \right)\) nên OA = BE và \(OA\parallel BE.\) Do đó ABEO là hình bình hành có J là trung điểm của OB nên đường chéo thứ hai AI phải qua J và JA = JE.
Chứng tỏ E đối xứng với A qua trung điểm J của đoạn OB.
Bài 2.
a) Tứ giác ANIM là hình chữ nhật (có ba góc vuông).
b) I là trung diểm của BC nên AI là đường trung tuyến của tam giác vuông ABC.
\( \Rightarrow AI = IC = {{BC} \over 2}.\)
Do đó \(\Delta AIC\) cân có IN là đường cao nên đồng thời là trung tuyến hay NA = NC, lại có NI = ND (tính chất đối xứng) \(\Rightarrow ADCI\) là hình thoi.
c) Kẻ qua I đường thẳng song song với BK cắt CD tại E. Ta có IE là đường trung bình của \(\Delta BKC\)
\( \Rightarrow E\) là trung điểm của CK hay EK = EC (1)
Mặt khác N là trung điểm của ID và \(NK\parallel IE\left( {IE\parallel BK} \right)\) nên NK là đường trung bình của \(\Delta DIE\)
\( \Rightarrow K\) là trung điểm của DE hay EK = DK (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow {{DK} \over {DC}} = {1 \over 3}.\)
