Bài 1:
a) \(P + Q = ( - 2{{\rm{x}}^3} + x{y^2} + 3{\rm{x}}) + (3{{\rm{x}}^3} - x{y^2} + 4{\rm{x)}}\)
\(\eqalign{ & = - 2{x^3} + x{y^2} + 3x + 3{x^3} - x{y^2} + 4x \cr & = {x^3} + 7x. \cr} \)
b) \(P - Q = ( - 2{{\rm{x}}^3} + x{y^2} + 3{\rm{x}}) - (3{{\rm{x}}^3} - x{y^2} + 4{\rm{x)}}\)
\(\eqalign{ & = - 2{x^3} + x{y^2} + 3x - 3{x^3} + x{y^2} - 4x \cr & = - 5{x^3} + 2x{y^2} - x. \cr} \)
Bài 2:
a) Ta có \(f( - 1) = {( - 1)^3} + {( - 1)^2} + ( - 1) + 1 \)\(\;= - 1 + 1 - 1 + 1 = 0\)
\( \Rightarrow x = - 1\) là nghiệm của f(x).
Tương tự, \(g( - 1) = {( - 1)^3} - 2{( - 1)^2} + ( - 1) + 4 \)\(\;= - 1 - 2 - 1 + 4 = 0\)
\(\Rightarrow x = - 1\) là nghiệm của g(x).
b) Ta có:
\(\eqalign{ f(x) - g(x) &= ({x^3} + {x^2} + x + 1) - ({x^3} - 2{x^2} + x + 4) \cr & {\rm{ }} = {x^3} + {x^2} + x + 1 - {x^3} + 2{x^2} - x - 4 \cr & {\rm{ }} = 3{x^2} - 3. \cr} \)
Thay \(x = - {1 \over 2}\) vào biểu thức trên, ta được:
\(f\left( { - {1 \over 2}} \right) - g\left( { - {1 \over 2}} \right) = 3.{\left( { - {1 \over 2}} \right)^2} - 3 \)\(\;= {3 \over 4} - 3 = - {9 \over 4}.\)
Bài 3: Vì \(x = - 2\) là nghiệm của K(x) nên ta có \(K( - 2) = 0\)
\(m.{( - 2)^2} - 2.( - 2) + 4 = 0 \)
\(\Rightarrow 4m + 8 = 0 \)
\(\Rightarrow 4m = - 8 \Rightarrow m = - 2.\)
Bài 4: Ta có: \(2{{\rm{x}}^4} - 4{{\rm{x}}^3} = 0 \Rightarrow 2{{\rm{x}}^3}(x - 2) = 0\)
\( \Rightarrow {x^3} = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\).
\( \Rightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Bài 5: Ta có: \(A(0) = 5\)
\(\Rightarrow m + n.0 + p.0.(0 - 1) = 5\)
\(\Rightarrow m = 5.\)
Khi đó \(A(x) = 5 + n{\rm{x}} + p{\rm{x}}{\rm{.}}(x - 1).\)
Lại có \(A(1) = - 2\)\(\; \Rightarrow 5 + n.1 + p.1.(1 - 1) = - 2\)
\(\Rightarrow 5 + n = - 2 \Rightarrow n = - 7.\)
Ta được \(A(x) = 5 - 7{\rm{x}} + p{\rm{x}}{\rm{.}}(x - 1).\)
Vì \(A(2) = 7\)\(\; \Rightarrow 5 - 7.2 + p.2.(2 - 1) = 7 \)
\(\Rightarrow 2p = 16 \Rightarrow p = 8.\)
Vậy \(A(x) = 5 - 7{\rm{x}} + 8{\rm{x}}(x - 1) \)\(\;= 5 - 7{\rm{x}} + 8{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} \)\(\;= 8{{\rm{x}}^2} - 15{\rm{x}} + 5.\)
