Bài 105 trang 23 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức (với \(a, b\) không âm và \(a ≠ b\))

a) \(\dfrac{{\sqrt a  + \sqrt b }}{{2\sqrt a  - 2\sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{2\sqrt a  + 2\sqrt b }} - \dfrac{{2b}}{{b - a}} \)\(= \dfrac{{2\sqrt b }}{{\sqrt a  - \sqrt b }}\)

b) \(\left(\dfrac{{a\sqrt a  + b\sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }} - \sqrt {ab} \right)\left ({\dfrac{{\sqrt a  + \sqrt b }}{{a - b}}}\right )^2 = 1\)  

a) Ta có: 

\(\eqalign{
& {{\sqrt a + \sqrt b } \over {2\sqrt a - 2\sqrt b }} - {{\sqrt a - \sqrt b } \over {2\sqrt a + 2\sqrt b }} - {{2b} \over {b - a}} \cr 
& = {{\sqrt a + \sqrt b } \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}} - {{\sqrt a - \sqrt b } \over {2\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} +{{2b} \over {a- b}} \cr 
& = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr &+ {{2b} \over {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr 
& = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2} + 4b} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr 
& = {{a + 2\sqrt {ab} + b - a + 2\sqrt {ab} - b + 4b} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr 
& = {{4\sqrt {ab} + 4b} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr 
& = {{4\sqrt b \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr 
& = {{2\sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }} \cr} \)

  (với \(a, b\) không âm và \(a ≠b\) )

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b. Ta có:

\(\eqalign{
& \left( {{{a\sqrt a + b\sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right){\left( {{{\sqrt a + \sqrt b } \over {a - b}}} \right)^2} \cr 
& = \left( {{{\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} } \over {\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right){\left[ {{{\sqrt a + \sqrt b } \over {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}} \right]^2} \cr 
& = \left[ {{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt {{a^2}} - \sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} } \right)} \over {\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right]{\left( {{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }}} \right)^2} \cr 
& = \left( {\sqrt {{a^2}} - \sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} - \sqrt {ab} } \right){1 \over {{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}} \cr 
& = {{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}} \over {{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}} = 1 \cr} \) 

 (với \(a, b\) không âm và \(a ≠b\) )

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.